Metric space

Aufrufe: 99     Aktiv: 08.10.2021 um 13:25

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hallo :)
Ich habe eine Frage bezüglich Inneres, Rand und Abgeschlossenes
Wenn ich z.B ² habe und das auf die drei untersuchen möchte, und ich weiss aber, dass
ℝ offen und abgeschlossen ist, ist dann
² auch offen und abgeschlossen ?
Wenn ja, wie kann ich dann z.B das Innere definieren bezüglich der normalen metrik?
Ich meine wenn es offen und abgeschlossen ist ist das Innere dann einfach

² selbst ? aber was ist dann der Rand ? Das Abgeschlossene muss ja dann wieder das innere vereint mit dem Rand sein, sofern ich das richtig verstanden habe?
Also wieder

²?
Und wie sieht es mit

² aus ? ℚ  selbst ist ja nicht abgeschlossen und nicht offen. Das gilt dann auch für
²  oder ? Aber wie soll ich hier das Innere finden, wenn es weder abgeschlossen noch offen ist ? Das verwirrt mich gerade noch sehr
Vielen Dank für eure Hilfe

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Man muss hier präzise sein. Offenheit/Abgeschlossenheit sind Eigenschaften die die Elemente deiner Topologie besitzen. Es ist aber richtig, dass jede Metrik eine Topologie induziert.

Eine Teilmenge $U\subseteq X$ ist offen (bzgl. der durch die Metrik $d$ induzierten Topologie), wenn für jeden Punkt $u\in U$ gilt, dass $B_\varepsilon(u,x)\subseteq U$ wobei $$B_\varepsilon(u,x) := \{x \in X\mid d(u,x) < \varepsilon \}$$
D.h. eine Menge $U$ ist offen bzgl. der durch die Metrik induzierten Topologie, falls zu jedem Punkt $u\in U$ ein $\varepsilon > 0$ existiert, so dass die $\varepsilon$-Kugel $B_\varepsilon$ noch ganz in $U$ liegt.

$\mathbb R$ ist als topologischer Raum immer offen und abgeschlossen. Das musst du nicht beweisen oder definieren oder irgendwie nachweisen. Das ist eines der Axiome einer jeden Topologie, dass die Grundmenge immer offen und abgeschlossen ist.

Entsprechend ist $\mathbb R^2$ als topologischer Raum ebenfalls offen (und abgeschlossen). 

Wie ich bereits in einer anderen Antwort schrieb ist die kanonische Wahl der Topologie im Produktraum die Produkttopologie. D.h. die natürliche Wahl der Topologie auf $\mathbb R^2$ ist die durch die (kanonische Topologie) auf $\mathbb R$ induzierte Produkt-Topologie.

Der Fall $X = \mathbb R$ ist aber besonders, denn tatsächlich stimmt die Produkt-Topologie auf $\mathbb R\times \mathbb R$ mit der durch die euklidische Metrik auf $\mathbb R^2$ induzierten Topologie überein. (Das ist im Allgemeinen aber nicht der Fall!).

Was willst du denn genau zeigen/beweisen?

 

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Student, Punkte: 490

 

Lieber Zest , danke dass du dir so viel Zeit (schon paarmal ) nimmst für mich !
Diese Definitionen scheinen jetzt schon ein wenig klarer , danke dir :)
Ich muss von ℝ² das innere, den Rand und das Abgeschlossene definieren, und darum verwirrt mich das abgeschlossen und doch offen so , denn wie kann ich ein Inneres definieren bei ℝ² , ich kann ja immer so ein Ball finden , existiert dann kein Rand? kann ja auch nicht sein, da ℝ² auch abgeschlossen ist oder? Aber was ist denn der Rand , wenn ℝ² das innere ist ? Vielleicht verwirre ich mich auch wiedermal extremst :D sehr gut möglich
  ─   bünzli 07.10.2021 um 19:40

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Freut mich wenn ich dir helfen kann. Ich weiß nicht, ob ihr das bereits definiert habt, aber man definiert den Abschluss (closure) $\overline X$ einer Menge $X$ (d.h. die kleinste abgeschlossene Menge die $X$ noch enthält) u.a. als die Vereinigung $$\overline X = \mathring X \cup \partial X$$ wobei $\mathring X$ das innere (interior) und $\partial X$ den Rand (boundary) bezeichnet. Dies ist äquivalent zu $$\partial X = \overline X \setminus \mathring X $$

Da $\mathbb R$ offen ist, ist $\mathring{\mathbb{R}} = \mathbb R$. Und da $\mathbb R$ ebenfalls abgeschlossen ist, ist $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb R$. D.h. das Innere und der Abschluss von $\mathbb R$ ist einfach $\mathbb R$ selbst. Dies liefert $$\partial \mathbb R = \overline{\mathbb{R}}\setminus \mathring{\mathbb{R}} = \mathbb R\setminus \mathbb R = \varnothing$$

Falls du $\mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R$ als topologischen Raum betrachtest, d.h. $(\mathbb R\times \mathbb R, \mathcal T_{\mathbb R\times \mathbb R})$, so ist $\mathbb R\times \mathbb R$ ebenfalls offen und abgeschlossen und nach obigem gilt dann $$\partial\left(\mathbb R\times \mathbb R\right) = \varnothing.$$
  ─   zest 07.10.2021 um 20:12

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mind blowing! Jetzt macht das alles Sinn !!! Wir hatten das mal am Anfang von Analysis 2 angeschnitten aber das ging alles wieder vergessen nachdem ich es etwa 1/2 Jahr nicht mehr gesehen hatte.
Danke Danke Danke ! !
  ─   bünzli 08.10.2021 um 13:25

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