Homogenität

Aufrufe: 140     Aktiv: 26.01.2024 um 21:39

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Guten Tag, 
ich muss diese Funktion auf Homogenität prüfen und dabei habe uch folgendes berechnet(Bild).
Ich bin mir unsicher ob die Rechnung richtig ist. Wahrscheinlich habe ich falsch ausgeklammert aber weiß nicht ganz wieso.
Ich bin dankbar für jede Hilfestellung :)

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Moin,

ein Allgemeines Polynom in n Variablen, i.e. $$f(x_1,...,x_n)=\sum_{\alpha\in \mathbb{N^n}}\lambda_{\alpha}x^{\alpha}$$wobei $\alpha$ ein Multiindex und $x=(x_1,...,x_n)$ ist (Die Summe muss natürlich endlich sein). Ein Polynom heißt homogen vom Grad d, wenn $|\alpha|=d$ für alle Indizes mit $\lambda_{\alpha}\neq 0$. 

In deinem Fall gibt es nur 3 Summanden: $x^3, \frac{1}{6}y^2, -xy$. Also ist $\alpha =(3,0), (0,2), (1,1)$ und somit $|\alpha|$ nicht konstant, ergo das Polynom nicht homogen. 
Du hast in deiner Rechnung fast richtig ausgeklammert, es fehlt im letzten Term ein $\lambda$. In jedem Fall kann man $\lambda$ nicht vernünfitg ausklammern.

LG

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Student, Punkte: 3.85K

 

Also zusammengefasst ist die Funktion f(x,y) nicht homogen? Und könntest du mir evtl. sagen wo genau ich das lambda vergessen habe?   ─   halllo123456789 26.01.2024 um 21:17

Ja, die Funktion ist nicht homogen. In der vorletzten Zeile steht$$\lambda^3x^3+\frac{1}{6}\lambda^2y^2-\lambda^2xy$$wenn man dann $\lambda$ ausklammert erhält man $$\lambda(\lambda^2x^3+\frac{1}{6}\lambda y^2-\lambda xy)$$   ─   fix 26.01.2024 um 21:39

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