Abbildung zwischen Matrizen

Aufrufe: 754     Aktiv: 16.12.2020 um 16:07

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Hallo :)

Kann mir jemand helfen? Ich verstehe nicht, was dieses W/W1 bedeuten soll und weiß auch nicht, wie ich mir eine Abbildung überlegen könnte.

 

gefragt

 

Bitte arbeite erst einmal das Skript durch, um die Begriffe zu verstehen. Dann kannst du gezielter fragen; vorher ergibt Helfen keinen Sinn. Es geht hier um die Bildung des Faktorraumes.   ─   slanack 14.12.2020 um 14:34

Danke für den Hinweis, ich hatte tatsächlich überlesen, dass wir in unserem Skript auch schon den Teil über Faktorräume lesen sollten. Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie ich mir dann W/W1 vorstellen soll. Wäre ein Element A aus W/W1 dann die Menge aller V+W mit W aus W1 und V aus W?   ─   thxforallthefish 15.12.2020 um 16:01

Fast. Man schreibt es so: \([A]\in W/W_1:\Leftrightarrow [A]=A+W_1\), d.h. man nimmt einen Repräsentanten \(A\) aus \([A]\) und bildet die Summe mit \(W_1\). Dabei ist es egal, welches Element aus \([A]\) man als Repräsentanten auswählt.   ─   slanack 15.12.2020 um 16:20
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Definiere \(\phi\) so: Für \([A]\in W/W_1\) existieren eindeutig bestimmte Matrizen \(A_1\in W_1\) und \(A_2\in W_2\) mit \(A=A_1+A_2\). Dann setze \(\phi([A]):=A_2\). Jetzt überprüfe die Linearität von \(\phi\).

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Vielen Dank, das hat wirklich sehr geholfen. Nur eine letzte Frage hätte ich noch: Ist die so gewählte Abbildung denn eine Bijektion? Denn dann würden doch [A] mit dem Reprästentanten A=A1+A2 und [B] mit Repräsentanten B=B1+A2 (B1 aus W1) beide auf A2 abbilden? Oder wäre B auch Repräsentant von [A]?   ─   thxforallthefish 16.12.2020 um 14:56

Das hast Du richtig verstanden, und ja, die Abbildung \(\varphi\) ist eine Bijektion. Das ist kein Widerspruch, denn in deinem Beispiel gilt \([A]=[B]\). Weißt Du, warum?   ─   slanack 16.12.2020 um 15:05

Ich hoffe, ich habe es richtig verstanden, aber ich würde jetzt sagen weil [A]=A+W1 ist. Das heißt es kommt auf den Summanden von A aus W2 an und da dieser sowohl bei A als auch bei B aus meinem Beispiel A2, gehören beide zur gleichen Äquivalenzklasse, sind also in meinem Quotientenraum gleich. Stimmt das so?   ─   thxforallthefish 16.12.2020 um 15:13

Ja genau.   ─   slanack 16.12.2020 um 16:07

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