Abbildung zwischen Matrizen

Aufrufe: 721     Aktiv: 16.12.2020 um 16:07
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Hallo :)

Kann mir jemand helfen? Ich verstehe nicht, was dieses W/W1 bedeuten soll und weiß auch nicht, wie ich mir eine Abbildung überlegen könnte.

 

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Bitte arbeite erst einmal das Skript durch, um die Begriffe zu verstehen. Dann kannst du gezielter fragen; vorher ergibt Helfen keinen Sinn. Es geht hier um die Bildung des Faktorraumes.   ─   slanack 14.12.2020 um 14:34
Danke für den Hinweis, ich hatte tatsächlich überlesen, dass wir in unserem Skript auch schon den Teil über Faktorräume lesen sollten. Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie ich mir dann W/W1 vorstellen soll. Wäre ein Element A aus W/W1 dann die Menge aller V+W mit W aus W1 und V aus W?   ─   thxforallthefish 15.12.2020 um 16:01
Fast. Man schreibt es so: \([A]\in W/W_1:\Leftrightarrow [A]=A+W_1\), d.h. man nimmt einen Repräsentanten \(A\) aus \([A]\) und bildet die Summe mit \(W_1\). Dabei ist es egal, welches Element aus \([A]\) man als Repräsentanten auswählt.   ─   slanack 15.12.2020 um 16:20
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Definiere \(\phi\) so: Für \([A]\in W/W_1\) existieren eindeutig bestimmte Matrizen \(A_1\in W_1\) und \(A_2\in W_2\) mit \(A=A_1+A_2\). Dann setze \(\phi([A]):=A_2\). Jetzt überprüfe die Linearität von \(\phi\).

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Vielen Dank, das hat wirklich sehr geholfen. Nur eine letzte Frage hätte ich noch: Ist die so gewählte Abbildung denn eine Bijektion? Denn dann würden doch [A] mit dem Reprästentanten A=A1+A2 und [B] mit Repräsentanten B=B1+A2 (B1 aus W1) beide auf A2 abbilden? Oder wäre B auch Repräsentant von [A]?   ─   thxforallthefish 16.12.2020 um 14:56
Das hast Du richtig verstanden, und ja, die Abbildung \(\varphi\) ist eine Bijektion. Das ist kein Widerspruch, denn in deinem Beispiel gilt \([A]=[B]\). Weißt Du, warum?   ─   slanack 16.12.2020 um 15:05
Ich hoffe, ich habe es richtig verstanden, aber ich würde jetzt sagen weil [A]=A+W1 ist. Das heißt es kommt auf den Summanden von A aus W2 an und da dieser sowohl bei A als auch bei B aus meinem Beispiel A2, gehören beide zur gleichen Äquivalenzklasse, sind also in meinem Quotientenraum gleich. Stimmt das so?   ─   thxforallthefish 16.12.2020 um 15:13
Ja genau.   ─   slanack 16.12.2020 um 16:07

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