Thermodynamik Integral

Aufrufe: 98     Aktiv: 11.08.2021 um 19:57

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Hallo, ich gehe momentan meine Thermodynamikunterlagen vom letzten Semester durch und kann die Berechnung eines bestimmten Integrals nicht nachvollziehen. Meine Frage wäre, ob mir jemand erklären kann, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Ich kenne die wichtigsten Integralregeln und bin auch während der Mathevorlesungen immer gut mit diesen zurechtgekommen. Allerdings verunsichern mich die verschiedenen Variablen im Praxisbezug. Hier das
Integral mit dem dazugehörigen Ergebnis.
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Student, Punkte: 25

 

Das sind Tippfehler drin oder (logisches oder) Angaben fehlen. Formal tritt die Inetegrationsvariable ja nur einmal, und das in einfacher Form auf. Der Rest sieht(!) nach Konstanten aus. Dann aber kann nie am Ende p_x oder V_x rauskommen. Also bitte alle(!) Angaben hier machen bez. aller auftretender Größen.   ─   mikn 10.08.2021 um 14:49

Das p_x und das V_x ist ein zuvor berechneter Wert, welcher zwischen der Zustandsänderun von 1 zu 2 stattgefunden hat (wurde vorher mit der linearen Interpolation berechnet). Allerdings ist mir das auch ein Rätsel, weshalb die zwei Werte aufeinmal in dem Ergebnis auftauchen.   ─   mxy98 10.08.2021 um 14:59
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Diagnose: Unvollständige Info + Tippfehler.
Setze $g(V)=p_1+\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1}(V-V_1)$. Dies ist die linear Interpolierende zu den Punkten $(V_1,p_1)$ und $(V_2,p_2)$. Dann gilt $W=-\int\limits_{V_1}^{V_x} g(V)\,dV$ (Achtung: Tippfehler) $\bf und$ $W=-0.5(p_1+p_x)(V_1+V_x)$, $\bf wenn$ $p_x=g(V_x)$ ist. Ich nehme an(!), dass $p_1$ und $p_2$ gemessene Werte sind (zwischen denen interpoliert wird). $p_x$ ist dann kein(!) Messwert, sondern der linear interpolierte Wert zu $V_x$.
So passt das alles zusammen. Die beiden Gleichungen definieren also eine neue Größe $p_x$, die von $V_x$ wie oben geschildert abhängt.
Warum das Integral in der oberen Zeile sich so berechnet wie in der unteren, sieht man am besten $\bf nicht$ durch Integrieren, sondern aus einer Skizze und Flächeninhaltsberechnung (Trapez bzw. rechtwinkliges Dreieck).
Die beiden Gleichungen gelten also für $\bf alle$ $V_x\in [V_1,V_2]$.
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Danke für die Antwort. Es ist tatsächlich so, wie sie es angenommen haben (p1 und p2 sind gemessene Werte und px ist der interpolierte Wert). Allerdings ist mir noch unklar, wie man auf das Ergebnis kommt. Könnten sie den von ihnen empfohlenen Lösungsweg (Skizze, Flächeninhaltsberechnung) evtl noch erläutern?   ─   mxy98 10.08.2021 um 21:11

Der Graph von g ist eine Gerade, über der x-Achse (ich nehme dabei an, p1, p2>0). Mach die Skizze und mach Dir klar, was das Integral mit dem Flächeninhalt unter dem Graphen über der x-Achse zu tun hat.   ─   mikn 10.08.2021 um 21:20

Das man mithilfe des Integrals den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und des Graphen berechnet ist mir bewusst. Allerdings kann ich den "klassischen" und in dem Fall komplizierteren Weg durch das Integrieren nicht nachhvollziehen.   ─   mxy98 11.08.2021 um 18:03

Den klassischen Fall (über Stammfunktion - obere/untere Grenze einsetzen usw.) hab ich nicht nachgerechnet, aber der muss natürlich auch klappen. Ist sicher etwas Rechnerei, weil ja das $p_x=g(V_x)$ untergebracht werden muss. Wenn die einfache Rechnung (Flächeninhalt) klappt, besteht von der Aufgabe her ja kein Bedarf mehr für die klassische Rechnung. Kann man natürlich zur Übung trotzdem machen.
  ─   mikn 11.08.2021 um 19:57

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