Definition: Stammfunktion vs. Flächeninhaltsfunktion

Aufrufe: 112     Aktiv: 09.05.2022 um 22:10

0
Man sagt: "Flächeninhaltsfunktionen sind Stammfunktionen"

Habe ich richtig verstanden, dass eine Flächeninhaltsfunktion immer einmalig ist in einem bestimmten Intervall?
Eine Stammfunktion hingegen beschreibt das uneigentliche Integral, also eine Funktionsschar mit Parameter C? 

Wie definiert/unterscheidet ihr diese beiden Ausdrücke?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 88

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Was du meinst ist sicher bestimmtes und unbestimmtes Integral. Das bestimmte Integral berechnet immer die eingeschlossene Fläche zwischen den Grenzen $a$ und $b$. Beim unbestimmten Integral werden keine Grenzen angegeben. Dort wird die Stammfunktion beschrieben. Der Parameter $c$ den man bei der Stammfunktion hinzufügt ist die unbekannte Kostante die beim ableiten wegfällt. Und ja im Prinzip erhält man damit eine Funktionenschar. Die Stammfunktion von $2x$ ist damit $x^2+c$, da z.B. $x^2+1$ oder $x^2-5$ o.ä. nach dem ableiten $2x$ ergeben.

Unterscheiden tut man die beiden Integrale durch das Angeben oder das Weglassen der Grenzen.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 6.25K

 

Hi maqu, danke für schnelle Antwort. Unbestimmtes und bestimmtes Integral kann ich bereits unterscheiden. Mich verwirrt jedoch der Ausdruck "Flächeninhaltsfunktion", welchen wir für die mündliche Abschlussprüfung können müssen. Ist das ein Synonym von einer Stammfunktion? In meinen Unterlagen steht, dass Flächeninhaltsfunktionen Stammfunktionen sind.

Der Unterschied wird auf gutefrage.net wie folgt beantwortet:
es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.. das ist die Lösung des unbestimmten Integrals.... die Flächeninhaltsfunktion wird in festen Grenzen gebildet und ist eindeutig... das ist die Lösung des bestimmten Integrals
A(x) = F(b) -F(a)


--> Gemäss dieser Begründung wäre nicht Stammfunktion = Flächeninhaltsfunktion?
  ─   nas17 08.05.2022 um 19:52

1
Das bestimmte Integral liefert eine Zahl und ist somit per Definition keine Funktion. Unter Flächeninhaltsfunktion (auch als Integralfunktion bekannt), versteht man die Funktion $I_a(x)\,\colon\!=\int_a^x\!f(t)\,\mathrm{d}t$. Es lässt sich leicht zeigen, dass $I_a(x)$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Der Begriff Flächeninhaltsfunktion ist hier aber missverständlich, da durch $I_a$ im Allgemeinen nicht die Fläche, sondern die Flächenbilanz berechnet wird. Insofern wäre erst einmal zu klären, wie genau die Flächeninhaltsfunktion definiert wurde.   ─   cauchy 08.05.2022 um 19:53

Wir haben die Flächeninhaltsfunktion wie folgt definiert: Aa(x) = A0(x)-A0(a) (sofern a kleiner gleich x und f(x) grösser gleich null im Intervall [a,x])
  ─   nas17 08.05.2022 um 21:35

Gut, das passt. Man hat hier also kein Problem mit Flächen unterhalb der $x$-Achse. Wenn $f$ im Intervall $[a;x]$ größer als 0 ist, so stimmt die von euch definierte Flächeninhaltsfunktion mit der von mir genannten Integralfunktion überein. Diese ist, wie schon erwähnt eine Stammfunktion von $f$. Allerdings muss nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion sein.   ─   cauchy 08.05.2022 um 21:43

Vielen Dank cauchy!

Noch zu "Allerdings muss nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion sein": Wenn f(x) nun kleiner 0 sei, dann wäre die Stammfunktion per Definition keine Integralfunktion?
  ─   nas17 08.05.2022 um 22:08

Nein, das ist nicht der Grund. Jede Integralfunktion hat eine Nullstelle, welche? Eine Stammfunktion lässt sich aufgrund der Integrationskonstanten aber ggf. so verschieben, dass diese keine Nullstelle mehr hat und somit keine Integralfunktion sein kann.   ─   cauchy 08.05.2022 um 22:32

Gemäss meiner Überlegung hat jede Integralfunktion die Nullstelle bei 0, wenn die Konstante C=0 ist?   ─   nas17 09.05.2022 um 13:18

Nein. Wann ist denn $\int_a^x\!f(t)\,\mathrm{d}t=0$? Also für welche $x$?   ─   cauchy 09.05.2022 um 20:30

Falls x=a?   ─   nas17 09.05.2022 um 21:30

So ist es.   ─   cauchy 09.05.2022 um 21:36

Achso, dann habe ich "Nullstelle" falsch verstanden. Ich dachte an folgendes Beispiel: x^2 ist die Ausgangsfunktion, eine Stammfunktion wäre dann 1/3x^3 (wobei C=0). Bei dieser Funktion wäre x=0 eine Nullstelle der Stammfunktion.
Bedeutet daher "Nullstelle", dass die Flächenbilanz null ergibt? :)
  ─   nas17 09.05.2022 um 21:44

Es geht nicht um die Nullstelle von $f(x)$ oder $F(x)$, sondern um die Nullstelle von $I_a(x)$. Und wenn $x=a$ ist, hast du gar keine Fläche.   ─   cauchy 09.05.2022 um 21:48

Danke für die Geduld! Nun ist alles klar. Sorry das ich immer zusätzliche Fragen stelle, habe aber so den grössten "Lernerfolg". :)   ─   nas17 09.05.2022 um 21:52

1
Dafür sind wir da, alles gut. :)   ─   cauchy 09.05.2022 um 22:10

Kommentar schreiben