Stetigkeit von partiellen Funktionen

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Hallo,

 

ich bearbeite gerade eine Aufgabe zur Stetigkeit. Genauer soll ich die Stetigkeit der folgenden partiellen Funktion zeigen: \(h:[0,1]\cup[2,3]\to \mathbb{R}, h(x)=\begin{cases}0 & \text{für } 0≤x≤1,\\ 1 & \text{für } 2≤x≤3 \end{cases}\).

Hier fangen die Probleme doch leider schon an. Ich kann so gerade die Stetigkeit einer "normalen" Funktion beweisen, da überfordert mich diese partielle Funktion. Meine Idee war zu zeigen, dass \(f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x) =0\) und \(g:[2,3]\to\mathbb{R}, g(x) =1\) stetig sind. Die Frage die sich mir nun jedoch stellt ist, wie man diese beiden Funktionen "zusammenbekommt".

Hat dort vielleicht jemand eine Idee und kann mir auf die Sprünge helfen?

 

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin

gefragt 2 Wochen, 1 Tag her
kingkevin23
Student, Punkte: 91

 
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1 Antwort
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Ich würde hier auf das Epsilon-Delta-Kriterium zurückgreifen.

Sei \( x_0 \in [0,1] \cup [2,3] \) beliebig. Wir wollen zeigen, dass \(h\) in \(x_0\) stetig ist.

1. Fall: \( x_0 \in [0,1] \). Zu einem beliebigen \( \varepsilon > 0 \) wählen wir \( \delta = \frac{1}{2} \). Dann gilt für alle \( x \in [0,1] \cup [2,3] \):

Aus \( \vert x - x_0 \vert < \delta \) folgt zunächst \( x \in [0,1] \).

(Denn für \( x \in [2,3] \) gilt \( \vert x - x_0 \vert = x - x_0 \ge 2 - 1 = 1 > \frac{1}{2} = \delta \).)

Somit folgt dann

\( \vert h(x) - h(x_0) \vert = \vert 0-0 \vert = 0 < \varepsilon \)

Also ist \(h\) stetig in \( x_0 \).

2. Fall: \( x_0 \in [2,3] \). Den kannst du mal selber versuchen. Funktioniert völlig analog.

geantwortet 2 Wochen, 1 Tag her
anonym
Student, Punkte: 4.57K
 

Erstmal danke dir für deine Antwort! Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, das wir dieses Semester das Epsilon-Delta-Kriterium nicht in der Vorlesung behandeln, demnach kann ich es schlecht für meinen Beweis nutzen. Die Idee mit der Fallunterscheidung ist gut, daran hatte ich gar nicht gedacht. Ich versuche es im Folgenden mal mit der Folgenstetigkeit:

Sei \(\tilde{x}\in [0,1]\) und \(x_n\) eine Folge mit \(\lim_{n\to\infty} x_n=\tilde{x}\). Nun gilt: \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0 = f(\tilde{x})\).

Dies wäre nun mein Ansatz für den ersten Fall, jedoch glaube ich nicht das ich einfach \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0\) machen kann, da \(x_n\) doch auch außerhalb von \([0,1]\) sein könnte, oder liege ich da falsch?
  ─   kingkevin23 2 Wochen her

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Das kann man so machen. Wenn du eine Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( [0,1] \cup [2,3] \) hast mit \( \lim_{n \to \infty} x_n = \bar{x} \in [0,1] \), dann gibt es nach Definition des Grenzwerts ein \( n_0 \), sodass \( \vert x_n - \bar{x} \vert < \frac{1}{2} \) für alle \( n \ge n_0 \) gilt. Hieraus folgt dann aber \( x_n \in [0,1] \) und somit \( f(x_n)=0 \) für alle \( n \ge n_0 \). Und damit kann man dann \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0 \) folgern.   ─   anonym 2 Wochen her

Alles klar, vielen Dank! Hast mir sehr geholfen!   ─   kingkevin23 2 Wochen her

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Freut mich, wenn ich helfen konnte :)   ─   anonym 2 Wochen her
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