Stetigkeit von partiellen Funktionen

Aufrufe: 631     Aktiv: 13.01.2021 um 19:39
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Hallo,

 

ich bearbeite gerade eine Aufgabe zur Stetigkeit. Genauer soll ich die Stetigkeit der folgenden partiellen Funktion zeigen: \(h:[0,1]\cup[2,3]\to \mathbb{R}, h(x)=\begin{cases}0 & \text{für } 0≤x≤1,\\ 1 & \text{für } 2≤x≤3 \end{cases}\).

Hier fangen die Probleme doch leider schon an. Ich kann so gerade die Stetigkeit einer "normalen" Funktion beweisen, da überfordert mich diese partielle Funktion. Meine Idee war zu zeigen, dass \(f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x) =0\) und \(g:[2,3]\to\mathbb{R}, g(x) =1\) stetig sind. Die Frage die sich mir nun jedoch stellt ist, wie man diese beiden Funktionen "zusammenbekommt".

Hat dort vielleicht jemand eine Idee und kann mir auf die Sprünge helfen?

 

Vielen Dank im Vorraus,
Kevin

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Ich würde hier auf das Epsilon-Delta-Kriterium zurückgreifen.

Sei \( x_0 \in [0,1] \cup [2,3] \) beliebig. Wir wollen zeigen, dass \(h\) in \(x_0\) stetig ist.

1. Fall: \( x_0 \in [0,1] \). Zu einem beliebigen \( \varepsilon > 0 \) wählen wir \( \delta = \frac{1}{2} \). Dann gilt für alle \( x \in [0,1] \cup [2,3] \):

Aus \( \vert x - x_0 \vert < \delta \) folgt zunächst \( x \in [0,1] \).

(Denn für \( x \in [2,3] \) gilt \( \vert x - x_0 \vert = x - x_0 \ge 2 - 1 = 1 > \frac{1}{2} = \delta \).)

Somit folgt dann

\( \vert h(x) - h(x_0) \vert = \vert 0-0 \vert = 0 < \varepsilon \)

Also ist \(h\) stetig in \( x_0 \).

2. Fall: \( x_0 \in [2,3] \). Den kannst du mal selber versuchen. Funktioniert völlig analog.

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Erstmal danke dir für deine Antwort! Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, das wir dieses Semester das Epsilon-Delta-Kriterium nicht in der Vorlesung behandeln, demnach kann ich es schlecht für meinen Beweis nutzen. Die Idee mit der Fallunterscheidung ist gut, daran hatte ich gar nicht gedacht. Ich versuche es im Folgenden mal mit der Folgenstetigkeit:

Sei \(\tilde{x}\in [0,1]\) und \(x_n\) eine Folge mit \(\lim_{n\to\infty} x_n=\tilde{x}\). Nun gilt: \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0 = f(\tilde{x})\).

Dies wäre nun mein Ansatz für den ersten Fall, jedoch glaube ich nicht das ich einfach \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0\) machen kann, da \(x_n\) doch auch außerhalb von \([0,1]\) sein könnte, oder liege ich da falsch?   ─   kingkevin23 13.01.2021 um 18:38
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Das kann man so machen. Wenn du eine Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( [0,1] \cup [2,3] \) hast mit \( \lim_{n \to \infty} x_n = \bar{x} \in [0,1] \), dann gibt es nach Definition des Grenzwerts ein \( n_0 \), sodass \( \vert x_n - \bar{x} \vert < \frac{1}{2} \) für alle \( n \ge n_0 \) gilt. Hieraus folgt dann aber \( x_n \in [0,1] \) und somit \( f(x_n)=0 \) für alle \( n \ge n_0 \). Und damit kann man dann \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0 \) folgern.   ─   42 13.01.2021 um 18:47
Alles klar, vielen Dank! Hast mir sehr geholfen!   ─   kingkevin23 13.01.2021 um 19:37
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Freut mich, wenn ich helfen konnte :)   ─   42 13.01.2021 um 19:39

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