Punkte auf verschiedenen Seiten der Ebene?

Erste Frage Aufrufe: 49     Aktiv: 05.02.2021 um 03:42

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Die Aufgabenstellung ist wiefolgt: Zeigen Sie, dass die Punkte P(3/4/3) und Q(1/2/-1) auf verschiedenen Seiten der Ebene E: x= (8, 0, 0) + r (-4, 3, 0) + s ( -2, 0,1) liegen.

Was ist hier mit verschiedenen Seiten der Ebene gemeint? Und wie soll man das lösen? Danke im Vorraus :)
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2 Antworten
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Stelle dir eine waagerechte Ebene vor. Dann kann ein Punkt oberhalb und ein Punkt unterhalb der Ebene liegen. Sie liegen also auf verschiedenen Seiten. Sowas geht nun natürlich für jede beliebige Ebene.

Vorgehensweise: Bilde eine Gerade durch die Punkte und zeige, dass sie die Ebene in genau einem Punkt schneidet.
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Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen   ─   dii25 05.02.2021 um 03:06

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Eine Methode zur Prüfung ist: du ermittelst einen Vektor senkrecht zur Ebene E (z.B. mit Kreuzprodukt der Richtungsvektoren). \(\vec w = \vec u x \vec v\)

Dann stellst du eine Geradengleichung auf durch den Punkt P, senkrecht zu E  \(g_P =P +t_P*\vec w \text { sowie eine Gleichung durch Q } g_Q=Q+t_Q*\vec w\).

Dann berechnest du, für welches \(t_P\) die Gerade \(g_P\) die Ebene schneidet. Das gleiche für \(t_Q\).

Sind die Vorzeichen von \(t_P\) und \(t_Q\) unterschiedlich, dann liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten der Ebene.

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Die andere Lösung ist aber eleganter. Du musst aber dort noch zeigen, dass der Schnittpunkt mit der Ebene zwischen den beiden Punkten liegt.
Eine Gerade durch 2 Punkte kann eine Ebene auch schneiden, wenn die beiden Punkte auf einer Seite liegen.
  ─   scotchwhisky 05.02.2021 um 03:17

Stimmt, habe für den Schnittpunkt jetzt SP(2,14/3,14/0,85) raus, welches zwischen den Punkten P(3/4/3) und Q(1/2/-2) liegt. Liegt der Parameter für die Gerade zwischen 0 und 1 bei der Lösung des LGS weiß man ja, dass der Schnittpunkt zwischen den Punkten liegt, habe da r≈0,43. Vielen Dank für den alternativen Lösungsvorschlag!   ─   dii25 05.02.2021 um 03:41

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