Alle Ebenen in Z3,3 , die Untervektorräume sind.

Aufrufe: 399     Aktiv: 04.04.2023 um 13:54

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Gegeben ist diese Aufgabe, allerdings mit der Vorraussetzung, dass die Ebenen Untervektorräume von Z3,3 sein müssen. Ich denke momentan an diese 4 Ebenen:

Nun kam mir aber der Gedanke, dass es auch andere Ebenen geben könnte, die im Z3,3 ein UVR sind. Wie zum Beispiel diese:

Gibt es hier irgendeinen Weg, systematisch eine Lösung zu finden? Ich konnte bereits alle Geraden ermitteln, welche im Z3,3 einen UVR darstellen: Hier konnte ich feststellen, dass es insgesamt 13 Geraden geben muss, die ein UVR sind (26 Punkte in dem Raum, ohne den Nullpunkt --> eine Gerade beinhaltet 2 Punkte und den Nullpunkt --> 26/2=13) Aber bei den Ebenen hört es dann auf bei mir.

Danke.
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Student, Punkte: 16

 
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Deine Antwort ist schon ganz gut und auf die Gefahr hin, dass die Kodexritter meine Antwort gleich kritisieren: 

 Du musst jetzt also $2$ linear unabhängige Vektoren finden (alles über $\mathbb{Z}_3$ in $\mathbb{Z}_3^3$). Für den ersten Vektor $v_1$ hast du $3^3-1$ (alle außer den Nullvektor) Möglichkeiten. Es gibt genau $3$ Vektoren in $\mathbb{Z}_3^3$, die linear abhängig von $v_1$ sind. Also hast du für den zweiten Vektor $v_1$ genau $3^3-3$ Möglichkeiten.

Jetzt können aber solche Vektortupel $(v_1,v_2)$ dieselbe Ebene aufspannen. Dies ist wiederum äquivalent zu Anzahl der verschiedenen Basen in eines zweidimensionalen Vektorraums über $\mathbb{Z}_3$. Davon gibt es genau $(3^2-1)(3^2-3)$ - das zu beweisen überlasse ich dir, aber es könnte auch in deinen Vorlesungsnotizen stehen. 

Wir kombinieren also alles zu einer einzigen Formel

\( \# \mathrm{Ebenen \;in \; \mathbb{Z}_3}=\frac{(3^3-1)(3^3-3)}{(3^2-1)(3^2-3)}=13 \)

Das Ergebnis ist auch $13$. Das überrascht uns insofern nicht, da es für jede Gerade $v \in \mathbb{P}^2(\mathbb{Z}_3)$, die du ja schon korrekt gezählt hast, genau $1$ Ebene als Komplement in $\mathbb{Z}_3^3$ gibt. Nur leider ist das eben kein Beweis und man müsste auch hier einen Isomorphismus konstruieren, was meiner Meinung nach nicht ohne Graßmannsche geht (und daher zu weit führt).

Ich gehe davon aus, dass du Student bist und daher liegt es in deiner Verantwortung, dich mit dem Material nochmal auseinanderzusetzen. Auch wenn das von mir geschriebene ein Komplettlösung ist.

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Ich danke dir. Für meine Zwecke wird es ohne den Beweis auch schon reichen, da ich diese Ebenen nur auflisten soll. Leider hat mein Prof uns zu dieser Thematik nicht viel erzählt, aber dein Ansatz hört sich sehr sinnvoll an! Vielen Dank nochmal   ─   zee7 30.03.2023 um 16:29

Bitte, ich habe versucht, möglichst elementar zu argumentieren. Wenn du damit Probleme hast, frag ruhig deine Tutoren/Übungsleiter oder gehe in Sprechstunden. Natürlich kannst du auch hier mehr fragen!   ─   crystalmath 30.03.2023 um 16:51

Es ist keine Seltenheit, dass Professoren nur "wenig" erzählen. Das benötigte Handwerkszeug findet man in den Vorlesungsunterlagen (da stehen auch Literaturhinweise) und dann heißt es, nachdenken und ggf. selbst weiter recherchieren. Dabei kann man jede Menge lernen!

Auf jeden Fall ist es schon einmal löblich, dass du dich mit der Aufgabe auseinandergesetzt hast. Das sieht man hier nicht oft.
  ─   cauchy 30.03.2023 um 16:58

Ich wünschte ich hätte Unterlagen.. die einzigen Unterlagen die wir bekommen, sind die Übungsblätter, welche SEHR schwer sind   ─   zee7 03.04.2023 um 21:41

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Es gibt kein Skript? Kaum zu glauben...   ─   cauchy 04.04.2023 um 00:37

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Organisiert euch, damit ihr zumindest an korrekte Mitschriften kommt!   ─   crystalmath 04.04.2023 um 13:54

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