Deine Antwort ist schon ganz gut und auf die Gefahr hin, dass die Kodexritter meine Antwort gleich kritisieren: 

 Du musst jetzt also $2$ linear unabhängige Vektoren finden (alles über $\mathbb{Z}_3$ in $\mathbb{Z}_3^3$). Für den ersten Vektor $v_1$ hast du $3^3-1$ (alle außer den Nullvektor) Möglichkeiten. Es gibt genau $3$ Vektoren in $\mathbb{Z}_3^3$, die linear abhängig von $v_1$ sind. Also hast du für den zweiten Vektor $v_1$ genau $3^3-3$ Möglichkeiten.

Jetzt können aber solche Vektortupel $(v_1,v_2)$ dieselbe Ebene aufspannen. Dies ist wiederum äquivalent zu Anzahl der verschiedenen Basen in eines zweidimensionalen Vektorraums über $\mathbb{Z}_3$. Davon gibt es genau $(3^2-1)(3^2-3)$ - das zu beweisen überlasse ich dir, aber es könnte auch in deinen Vorlesungsnotizen stehen. 

Wir kombinieren also alles zu einer einzigen Formel

\( \# \mathrm{Ebenen \;in \; \mathbb{Z}_3}=\frac{(3^3-1)(3^3-3)}{(3^2-1)(3^2-3)}=13 \)

Das Ergebnis ist auch $13$. Das überrascht uns insofern nicht, da es für jede Gerade $v \in \mathbb{P}^2(\mathbb{Z}_3)$, die du ja schon korrekt gezählt hast, genau $1$ Ebene als Komplement in $\mathbb{Z}_3^3$ gibt. Nur leider ist das eben kein Beweis und man müsste auch hier einen Isomorphismus konstruieren, was meiner Meinung nach nicht ohne Graßmannsche geht (und daher zu weit führt).

Ich gehe davon aus, dass du Student bist und daher liegt es in deiner Verantwortung, dich mit dem Material nochmal auseinanderzusetzen. Auch wenn das von mir geschriebene ein Komplettlösung ist.