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3x3! + 4x4! +.... + nxn! = (n+1)!-6

Für alle natürlichen Zahlen n>=3 



Anfang: 3x3! = (3+1)! - 6 = 18

Vorraussetzung:  Gleich wie oberste Zeile

Schluss: ???
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1
Hallo

Okei also versuchen wir das mal:

Behauptung:
\(\sum_{i=3}^n i\cdot i!=(n+1)!-6\,\,\,\,\, \forall 3\leq n\)

Beweis per Induktion:
1. Induktionsvoraussetzung:
Man möchte überprüfen ob die Aussage für \(n_0=3\) wahr ist:
\(\sum_{i=3}^3 i\cdot i! =3\cdot 3!=18=4!-6=(3+1)!-6\)

2. Induktionsannahme (IA)
Man nimmt an, dass die Aussage für ein beliebiges \(n > n_0\) gilt und möchten beweisen, dass sie auch für \(n+1\) gilt (also zu zeigen \(\sum_{i=3}^{n+1} i\cdot i!=(n+2)!-6\), das ist nur für dich als Anhaltspunkt wo du hinkommen solltest, normalerweise habe ich das so gelernt, dass man das nicht in den Beweis schreibt)

3. Beweis (Ich gebe hier nur einen Tipp, versuch es aber selber)
\(\sum_{i=3}^{n+1} i\cdot i!\stackrel{*}{=}(\sum_{i=3}^{n} i \cdot i! )+(n+1)\cdot (n+1)! \stackrel{IA}{=}........=(n+2)!-6\)

  • (Bemerkungen für den Beweis:
    1.
    Überleg dir genau wieso * gilt, wieso man das machen darf, denn dieser Trick ist ziemlich nützlich immer wenn du Induktionsbeweise über Summen hast, etwas ähnliches gibt es auch für Induktionsbeweise über Produkte

    2.
    Die Fakultät wird ja per Rekursion wie folgt definiert:
    \(0!=1\)
    \(k!=k\cdot (k-1)!\,\,\, \forall k>0\)
    Du wirst diese Eigenschaft noch benützen müssen, überleg dir dann ganz genau wieso diese zutrifft.

4. Induktionsschluss (wenn du alles bewiesen hast)
Aus dem Induktionsaxiom können wir nun schliessen, dass die Aussage \(\forall n\geq 3\) gilt.
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