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Du hast gezeigt, dass \( \left( \frac{p}{5} \right) = \begin{cases} +1 & p \equiv \pm 1 \mod 5 \\ -1 & p \equiv \pm2 \mod 5 \end{cases} \) ist. Deine Tabelle reicht hierbei als Beweis aus. Alles weitere folgt dann direkt aus dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz. Du musst es einfach nur für diesen Spezialfall hinschreiben.
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Rest 1: 6, 11, 16, 21, 26, 31,….
Rest -1: 4, 9, 14, 19, 24, 29,… (auch Rest 4)
Rest 2: 7, 12, 17, 22, 27, 32, ….
Rest -2: 3, 8, 13, 18, 23, 28,…. (auch Rest 3)
Dann habe ich mir eine Tabelle mit den quadratischen Restklassen von „mod 5“ aufgeschrieben:
$x$ | $x^2$ | $x^2$ mod 5
0 | 0 | 0
1 | 1 | 1
2 | 4 | -1 (oder 4)
3 | 9 | -1 (oder 4)
4 | 16 | 1 ……
Offensichtlich sind alle Zahlen $a \equiv ± 1$ mod 5 quadratische Reste und alle Zahlen $a \equiv ± 2$ mod 5 Nichtreste.
Aber wie beweise ich das?
─ anonymaa0df 15.11.2022 um 14:04