Zeige mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz….

Aufrufe: 104     Aktiv: 15.11.2022 um 20:12

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Hallo!
Ich soll folgendes zeigen: 

Ich habe leider keine Idee. Ich weiß, dass $(\frac{5}{p})$ 1 ist, falls 5 quadratischer Rest ist von p und -1, falls 5 quadratischer Nichtrest von p ist. 

Aber wie beweise ich das jetzt?
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Student, Punkte: 22

 

Ich habe mal alle Zahlen mit Rest $±1$ $mod$ $5$ notiert und alle Zahlen $±2$ $mod$ $5$:

Rest 1: 6, 11, 16, 21, 26, 31,….
Rest -1: 4, 9, 14, 19, 24, 29,… (auch Rest 4)

Rest 2: 7, 12, 17, 22, 27, 32, ….
Rest -2: 3, 8, 13, 18, 23, 28,…. (auch Rest 3)

Dann habe ich mir eine Tabelle mit den quadratischen Restklassen von „mod 5“ aufgeschrieben:

$x$ | $x^2$ | $x^2$ mod 5
0 | 0 | 0
1 | 1 | 1
2 | 4 | -1 (oder 4)
3 | 9 | -1 (oder 4)
4 | 16 | 1 ……


Offensichtlich sind alle Zahlen $a \equiv ± 1$ mod 5 quadratische Reste und alle Zahlen $a \equiv ± 2$ mod 5 Nichtreste.
Aber wie beweise ich das?
  ─   anonymaa0df 15.11.2022 um 14:04
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Du hast gezeigt, dass \( \left( \frac{p}{5} \right) = \begin{cases} +1 & p \equiv \pm 1 \mod 5 \\ -1 & p \equiv \pm2 \mod 5 \end{cases} \) ist. Deine Tabelle reicht hierbei als Beweis aus. Alles weitere folgt dann direkt aus dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz. Du musst es einfach nur für diesen Spezialfall hinschreiben.
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