Dichtefunktion für gemeinsame Verteilung - Bestimme c

Erste Frage Aufrufe: 175     Aktiv: 25.06.2022 um 23:19

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Hi!

Ich löse gerade folgende Aufgabe: Das Zufallsvariablenpaar (X,Y) $\in$ $\mathbb{R}^2$ ist gemeinsam
uniform verteilt auf der Kreisscheibe {(x,y) $\in$ $\mathbb{R}^2$: $x^2+y^2$ $\leq$ 1}.
Die Dichtefunktion lautet f(x,y)= c, $x^2+y^2$ $\leq$ 1 und 0, sonst. Aufgabe: Bestimme c, sodass f Dichtefunktion ist

Jetzt ist meine Frage: Was sind die Grenzen? Ist es einmal $-1\leq$ $x$ $\leq$ 1 und $y$ $\leq$ 0 und 
das Doppelintegral $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\int_{-1}^{1}$ c dx dy
oder ist es $x^2+y^2$ $\leq$ 1 $\Leftrightarrow$ $0\leq y \leq$$\sqrt{1-x^2}$ und $0\leq y \leq$$\sqrt{1-x^2}
$
Und jeweils darüber das Doppelintegral? 
Ich muss sagen, ich habe beides probiert und wenn ich dann mein c, was ich nach langem Rechnen herausbekomme
wieder einsetze, um zu gucken ob das Doppelintegral 1 ergibt, kommt es alles andere als 1 heraus. 

Weiß jemand meinen Fehler?

 
 

EDIT vom 25.06.2022 um 22:11:



Skizze
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Student, Punkte: 16

 
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2 Antworten
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Es muss über die Einheitskreisscheibe integriert werden. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten.
Skizziere die Scheibe und lies daran die Grenzen für x,y ab. Mit $\infty$ hat man da nichts zu tun, das tritt doch in der Scheibe gar nicht auf.
Zur Kontrolle könntest Du auch mit Polarkoordinaten integrieren.
Da der Integrand aber so einfach ist, kann man das Integral auch direkt ohne Integration ausrechnen. Naja, "ausrechnen" ist noch übertrieben, man schreibt das Ergebnis direkt hin.
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Danke erstmal für die Antwort. Ich habe mir mal die Einheitskreisscheibe angeguckt und festgestellt, dass x zwischen -1 und 1 ist und man y durch den Satz des Pythagoras rausbekommt. Also ist y zwischen 0 und $\sqrt{1-x^2}$. Wenn ich das Doppelintegral ausrechne kommt $\frac{ \pi}{2}$ heraus.
Mein c ist also c= $\frac {2}{\pi}$

Ich musste aber ziemlich lange rechnen und konnte leider das Ergebnis nicht direkt hinschreiben. Hast du einen Tipp, wie ich das auch sofort sehe?
  ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 01:18

Es ist ein Kreis. Was berechnet man denn mit Integralen?   ─   cauchy 25.06.2022 um 01:31

Flächen, aber welche Teilfläche vom Kreis? Also anschaulich?   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 01:46

Die Hälfe vom Kreis oder? Von -1 bis 1 und der Integrand wird ja $\sqrt{1-x^2}$   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 01:48

Ich habs! Danke!! Es ist die Fläche der Kreishälfte und Flächeninhalt vom Kreis ist ja $\pi*r^2$. Deshalb $\frac{ \pi}{2}$   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 01:57

Warum denn nur eine halbe Kreisscheibe? Die ZV ist auf der gesamten Kreisscheibe gleichverteilt.   ─   cauchy 25.06.2022 um 02:11

Ja, aber wir rechnen ja zunächst das Doppelintegral, was im zweiten Schritt $\int_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-x^2}$ ist. Und das ist die Fläche einer Kreishälfte von -1 bis 1. Und der Flächeninhalt vom Kreis ist $\pi *r^2$, r= 1 wegen Einheitskreis. Und da wir nur die Hälfte der Fläche berechnen: $\frac{\pi}{2}$

Also ich versuche nur gerade zu verstehen, wie man ohne großen Rechenaufwand nur ablesen und „das Ergebnis einfach hinschreiben“ kann, wie mikn geschrieben hat…
  ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 13:09

Das ist etwas durcheinander, vorher hast Du gesagt, y ist zwischen 0 und $\sqrt{1-x^2}$. Das stimmt nicht, weil Du dann nur den Halbkreis kriegst. Schreib das Doppelintegral, was Du berechnen willst, man genau hin (es gibt hier mehrere Möglichkeiten und Beschreibung mit Worten schafft keine Klarheit).
Für die einfache Version: Überlege mal, $\int_A 1 \,dxdy$ für eine Fläche $A\subset R^2$ ist.
  ─   mikn 25.06.2022 um 13:14

Ja genau, also ich meinte: y ist zwischen 0 und $\sqrt{1-x^2}$. Und x ist zwischen -1 und 1. Dann habe ich das Doppelintegral: $\int_{-1}^{1}$$\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}$ c dydx = c$\int_{-1}^{1}$ $\sqrt{1-x^2}$dx= c$\frac{\pi}{2}$

Schade, ich dachte ich habe es verstanden.

Und zu $\int_A 1 dxdy$ für eine Fläche $A \subset$ $\mathbb{R}^2$, ich weiß nicht genau was du meinst…
  ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 13:41

Zum Doppelintegral: Du hast also immer noch nicht den Kreis skizziert und am Kreis die Grenzen abgelesen? Sonst würdest Du ja nicht immer wieder auf den Halbkreis kommen.
Zur Fläche: Was ist an der Frage unklar? Schau mal in die ersten Bemerkungen zum Doppelintegral in Deine Unterlagen.
  ─   mikn 25.06.2022 um 13:52

Doch, ich habe den Einheitskreis skizziert. -1 bis 1 für x, ist ja klar. Und y habe ich durch den Satz des Pythagoras erhalten. Also die y-Koordinate ist $x^{2}+y^{2} = 1$. Also 0 bis $\sqrt{1-x^2}$. Der Halbkreis ist bei mir nur durch mein Doppelintegral entstanden, also nicht beabsichtigt.

Ich bin auch etwas durcheinander. In meinen Unterlagen steht, dass man erst nach dy und dann nach dx integriert. Jetzt schreibst du $\int_{A} 1 dxdy$. Das ist nicht egal, wonach man zuerst integriert oder?
  ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 14:06

nix "also" - Deine y-Koordinate beim Doppelintegral stimmt weiterhin nicht, weil Du die nicht an der Skizze abliest, sondern was rechnest ohne mitzudenken und ohne es an der Skizze zu prüfen.
1-Integral: Welche Bedeutung hat es, wenn man die Konstante 1 integriert? Das steht sicherlich in Deinen Unterlagen. Auch im Internet bei Webseiten zu Doppelintegralen steht das.
  ─   mikn 25.06.2022 um 14:13

Sind die Grenzen vielleicht für x $cos(\phi)$ und für y $sin(\phi)$ wobei $\phi$ der eingeschlossene Winkel zur x-Achse ist?   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 14:16

Eine Konstante integrieren heißt, einen rechteckigen Flächeninhalt zu integrieren, oder nicht? (Mit den jeweiligen Grenzen)   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 14:19

Ich hab im vorigen Kommentar alles gesagt. Lies die Grenzen an der Skizze ab (wenn es hilft, das noch 5mal zu sagen, packe ich das gerne mit cut-and-paste so oft hier rein) und ÜBERPRÜFE es an der Skizze.
Zur Konstanten: s.o., raten muss man hier nicht. Wo hast Du nachgeschaut? Lade hier hoch, was Du gefunden (Foto!).
  ─   mikn 25.06.2022 um 14:22

Das Problem ist aber, dass ich mir die Skizze angucke und das davon wirklich ablese, auch wenn du es nicht glaubst. Scheinbar ist da eine Wissenslücke von mir, die mich gerade daran hindert, das zu verstehen, was du meinst mit „Lies die Grenzen an der Skizze ab“. Aber aus dem Grund frage ich hier ja.   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 14:29

Du hast die Grenzen falsch abgelesen, und hast diese falsch gefundenen Grenzen bis jetzt immer noch nicht an der Skizze überprüft. Sonst wäre ja direkt alles klar. Es geht hier nicht um Wissen. Sondern um das Tun. Ok, Wissen, wie man im kartesischen Koordinatensystem Punkte abliest, braucht man schon. Vielleicht ist das das Problem?   ─   mikn 25.06.2022 um 14:46

Ich habe nach langem Knobeln folgendes: $\int_{0}^{1}$c$\int_{0}^{2 \pi y}$ $1dxdy$ = c$\int_{0}^{1} 2 \pi y$ $dy$ = c$2 \pi$ $(\frac{y^2}{2})$ (grenzen von 0 bis 1) $\rightarrow$ c$\pi (1-0)$ = $\pi$
$2\pi y$ soll dabei die Fläche des Kreises sein. Die Formel integriere ich nochmal nach y und setze 0 und 1 für y ein, weil wir einen Einheitskreis habe. Ist das richtig?
  ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 21:35

Warum machst du nicht das, was ich dir gefühlte 100mal gesagt habe? Nimm deine falschen Grenzen und überprüfe sie an der Skizze. Zeichne sie ein, nicht nur draufschauen. Bitte um Antwort auf diese Frage (warum ...?).   ─   mikn 25.06.2022 um 21:41

Weil überhaupt keine Ahnung habe was du meinst, habe ich auch bereits erwähnt. Es tut mir leid, aber habe echt lange geguckt, geknobelt und versucht, aber ich komme nicht auf diese Grenzen. Deshalb bete ich auch so um Hilfe.   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 21:43

Lade deine Skizze mit deinen eingezeichneten falschen Grenzen hoch.   ─   mikn 25.06.2022 um 21:58

Seit wann setzt man Flächen von Kreisen als Integralgrenze... Das wird ja immer schlimmer.

Zeichne mal das Einheitsquadrat. Wie lauten die Grenzen für $x$ und $y$?
  ─   cauchy 25.06.2022 um 21:59

Habe meine Skizze hochgeladen.   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 22:12

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Vergiss den Kram mit phi. Das rote x,y sind deine Grenzen. Prüfe das y: überstreicht es ganzen Kreis? Wenn nein, korrigiere.
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Es überstreicht nur den oberen Halbkreis, da die Wurzel nicht negativ werden kann. Ist y also $\sqrt{1-x^2}$ und -$\sqrt{1-x^2}$ ?   ─   anonymaa0df 25.06.2022 um 22:37

Sorry, das sollte ein Kommentar zu obiger 1. Antwort sein.
Ja. JETZT hast Du es überprüft, vorher nicht. Ich weiß manchmal nicht was ich hier für Tipps geben soll. Statt den Tipps von Anfang an zu folgen, machst Du lieber was anderes. Nachdem ich dann zum zigsten Mal gesagt habe, überprüf es, tust Du es.
Wenn Du Stunden für simple Mathe-Aufgaben brauchst, dann frag Dich mal warum das so ist.
Und achte auf jedes Wort bei den Integralgrenzen: y ist NICHT dies UND das. x läuft VON .... BIS ...und y läuft VON .... BIS....
  ─   mikn 25.06.2022 um 23:17

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