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Monotonie und Grenzwert einer rekursiven Folge

Erste Frage Aufrufe: 351     Aktiv: 23.02.2024 um 16:20

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Hallo,

Wie zeige ich, dass diese rekursive folge xn:=f(xn1) für n N mit x0=100 konvergent ist und wie bestimme ich den Grenzwert?

f sieht folgendermaßen aus :

f:RR,xx3x+2x2+1

Außerdem wurde schon gezeigt, dass 1<f(x)<x für alle x(1,) gilt.

Meine Idee: Man muss die Beschränktheit und die Monotonie zeigen, damit es Konvergiert. Ich vermute, dass die Folge von 0 unten beschränkt ist und monoton fällt. Ich denke man könnte die Monotonie mit einer vollständigen Induktion zeigen aber genau weiter komme ich nicht.

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Es steckt alles in 1<f(x)<x: Nämlich:
1. dass xn[1,100] für alle n
2. dass xn streng monoton fällt
Einfach einsetzen und ablesen, für Monotonie (2.) ist keine Induktion nötig.
Für Beschränktheit (1.) ist es eine Mini-Induktion.
Damit ist die Folge konvergent und der Grenzwert ist Lösung der Gleichung x=f(x) (aufpassen, falls die Gleichung zwei Lösungen hat).
Edit: genaueres zur Induktion
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Achso ok. Vielen dank für die schnelle antwort.   ─   raviellexus 23.02.2024 um 15:49

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