Monotonie und Grenzwert einer rekursiven Folge

Erste Frage Aufrufe: 110     Aktiv: 23.02.2024 um 16:20

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Hallo,

Wie zeige ich, dass diese rekursive folge $x_n:=f(x_{n-1})$ für $n \in$ $ \mathbb{N} $ mit $x_0 = 100$ konvergent ist und wie bestimme ich den Grenzwert?

f sieht folgendermaßen aus :

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow \frac{x^3 - x + 2}{x^2 +1}$

Außerdem wurde schon gezeigt, dass $1<f(x) < x$ für alle $x \in (1, \infty)$ gilt.

Meine Idee: Man muss die Beschränktheit und die Monotonie zeigen, damit es Konvergiert. Ich vermute, dass die Folge von 0 unten beschränkt ist und monoton fällt. Ich denke man könnte die Monotonie mit einer vollständigen Induktion zeigen aber genau weiter komme ich nicht.

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Es steckt alles in $1<f(x)<x$: Nämlich:
1. dass $x_n\in [1,100]$ für alle $n$
2. dass $x_n$ streng monoton fällt
Einfach einsetzen und ablesen, für Monotonie (2.) ist keine Induktion nötig.
Für Beschränktheit (1.) ist es eine Mini-Induktion.
Damit ist die Folge konvergent und der Grenzwert ist Lösung der Gleichung $x=f(x)$ (aufpassen, falls die Gleichung zwei Lösungen hat).
Edit: genaueres zur Induktion
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Achso ok. Vielen dank für die schnelle antwort.   ─   raviellexus 23.02.2024 um 15:49

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