Tangentengleichungen und Tangentenbrührpunkte

Aufrufe: 489     Aktiv: 23.04.2020 um 14:28
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Bestimmen Sie die Tangentenberührpunkte und die Tangentengleichungen an den Kreis k: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13, wenn die Tangenten Parallelen zur Geraden      y = -3/2  x + 4 sind.

also die Richtungsvektoren der Parallelen sind ja immer gleich, also (2/-3). Fehöt nur noch der Stützvektor. Wie komme ich auf den ?

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Schüler, Punkte: 16

 
Habt ihr die Hessenormalform für Geraden in der Ebene gemacht?   ─   digamma 23.04.2020 um 13:45
ja.   ─   mathe345 23.04.2020 um 13:46
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OK, mit HNF: Erst stellst du die Gleichung der Geraden auf, die parallel zur gegebenen ist und durch den Kreismittelpunkt geht. Diese hat die Gleichung `3x + 2y = -12`. In Hesse-Normalform ist das `(3x + 2y + 12)/sqrt(13)= 0`.

Die gesuchten Geraden haben die Gleichungen `(3x + 2y + 12)/sqrt(13)= +- r`, wobei `r` der Kreisradius ist, also `r = sqrt(13)`. Also kommst du auf `3x + 2y + 12= +-13`, also `3x + 2y = 1` und `3x + 2y - 12= -25`.

Das Problem ist, dass du auf diese Art und weise den Berührpunkt nicht erhältst. Deshalb folgt gleich noch eine alternative zweite Lösung.

 

 

 

 

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Tut mir leid, dass ich nochmal fragen muss, aber wie kommst du auf die Gerade?   ─   mathe345 23.04.2020 um 14:24
also die Ausgangsgerade 3x+2y= -12
   ─   mathe345 23.04.2020 um 14:24
Ich habe nur die Ausgangsgerade umgeformt, das ergibt 3x + 2y = 8. Die Parallele dazu durch den Mittelpunkt hat die Gleichung 3x + 2y = c, wobei c noch bestimmt werden muss. Dies tut man, indem man die Koordinaten des Mittelpunkts (-2|-3), den kann man aus der Kreisgleichung ablesen, einsetzt. So erhält man c = -12.   ─   digamma 23.04.2020 um 14:28

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Die Gerade, die durch den Kreismittelpunkt und die zwei Berührpunkte geht, ist orthogonal zu den beiden Tangenten, also auch orthogonal zur gegebenen Geraden. Sie hat also den Richtungsvektor (3 | 2). Stützpunkt ist der Kreismittelpunkt. Die Berührpunkte liegen von M im Abstand `r = \sqrt 13` auf der Geraden. Da der Richtungsvektor  (3 | 2) den Betrag `sqrt(13)` hat, haben die Berührpunte  die Koordinaten

`((x),(y)) = ((-2),(-3)) +- 1 * ((3),(2))` , also

(1|1) und (-5|-5).

 

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