Aussagen teilweise geordnete Menge

Aufrufe: 61     Aktiv: 08.12.2021 um 11:02

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Sei (M, ≤) eine teilweise geordnete Menge und X ⊆ M.

Stelle drei wahre Aussagen auf:


Jedes minimale Element in M ist untere Schranke für X.
Jedes maximale Element in M ist ein größtes Element von X.
M hat genau eine obere Schranke.

 

Stimmen die drei Aussagen?

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Hallo,

betrachten wir mal die Menge $M = \{2,3,4,5,6,7\}$ mit der Teilbarkeit als Halbordnung. Damit haben wir eine teilweise geordnete Menge. Wenn wur nun das Element $5$ betrachten, dann wird dieses Element von keinem anderen Element geteilt und es teilt aber auch kein anderes Element. Damit ist es sowohl minimales als auch maximales Element in $X$. 
Wenn wir jetzt die Teilmenge $X= \{5\}$ nehmen, dann existiert kein Element, dass die $5$ teilt oder von ihr geteilt wird, damit gibt es keine obere bzw untere Schranke die in $M$ liegt. 

Diese Eigenschaften die dur dort beschreibst gelten also nicht zwanghaft für teilweise geordnete Mengen, da nicht jedes Element mit einem anderen Element vergleichbar sein muss. 

Betrachte auch mal die Natürlichen Zahlen für $M$. Das ist sogar eine totale Ordnung mit $\leq$. Aber diese Menge hat keine obere Schranke. 

Grüße Christian
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