Orthogonale Eigenvektoren ermitteln

Erste Frage Aufrufe: 36     Aktiv: 06.07.2021 um 17:00

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Guten Tag,

ich habe eine Aufgabe, bei der mir ein Lösungsansatz fehlt. Ich hoffe ihr könnt mir einen Hinweis geben.

Die Aufgabe lautet: 

Gegeben sei eine 3x3 Matrix M, deren Eigenwerte λ1 = -3 und λ2/3 = 0 sind. Die Dazugehörigen Eigenvektoren seien:

v1 = (-1,1,-1)
v2/3 = (α, α+β, β)
Kontruieren sie durch geeignete Wahl von α und β zwei orthogonale Eigenvektoren v2 und v3.

Mir fehlt hier eine Idee, wie ich das ganze angehe. Ich weiß, dass ich über das Kreuzprodukt einen Vektor erhalte, der orthogonal zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht. Und das das Skalarprodukt 0 ergibt, wenn zwei Vektoren orthogonal stehen.

Kann mit jemand einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen muss?
Vielen Dank!
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Die Bedingungen \(\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3 \rangle=\langle v_3,v_1\rangle =0\) induzieren ein homogenes LGS.
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Student, Punkte: 4.09K

 

Das habe ich mir auch überlegt. Aber wenn ich mit eine Gleichung mit v1 aufstelle, erhalte ich doch:
(-1)*α+1*(α+β)+(-1)*β = 0
Und wenn ich die linke Seite auflöse, erhalte ich 0 = 0.
  ─   user2a1ed3 06.07.2021 um 16:16

Genau, das LGS ist selbstverständlich unterbestimmt, da es ja unendlich viele zugehörende Orthogonale Vektoren gibt (liegen alle auf einer Geraden). Daher kannst du einen Parameter frei wählen :D   ─   mathejean 06.07.2021 um 17:00

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