Ich nehme an, du hast schon eine Skizze gemacht, oder? 

Du hast auch sicherlich gezeigt, dass es sich um ein lokales Koordinatensystem handelt. Also hast du insbesondere nachgerechnet, dass es sich um einem Homöomorphismus handelt. Oder um einen Diffeomorphismus, was oft einfacher ist aufgrund eines gewissen Satzes ;-).

Und du kennst die Formel, es ist eine Version des Transformationssatzes. Der besagt dir, mit $f(y)=1$ 

$$\int_{\Phi(U)}1dS=\int_U |\partial_{\theta} \Phi \times \partial_{\rho}\Phi|d\theta d \rho. $$

Die Punkte, die von dem lokalen Koordinatensystem $(U, \Phi)$ nicht getroffen werden bilden eine Nullmenge, also gilt 

$$\int_{\Phi(U)}1dS=\int_{\mathcal{S}}1dS=\mathrm{vol}(S).$$