Ich weiß leider nicht, wie man allgemein alle Lösungen der Differentialgleichung bestimmen würde, allerdings ist das für die Aufgabe ja auch nicht notwendig.

Wenn es um Differentialgleichungen von solcher Form geht, ist die e-Funktion immer ein guter Kandidat. Und tatsächlich kann man feststellen, dass \( \frac{d^2}{dx^2} e^x = e^x \) und \( \frac{d^2}{dx^2} e^{-x} = e^{-x} \) ist. Da die Differentialgleichung linear ist und \( e^x \) und \( e^{-x} \) linear unabhängig sind, ist \( \{ ae^x + be^{-x} \vert a,b \in \mathbb{R} \} \) ein zweidimensionaler Lösungsraum der Differentialgleichung.

Die Funktion \( y(x) = ae^x + be^{-x} \) ist genau dann eine Lösung des AWPs, wenn gilt: \(a+b=y(0)=3\) und \( a-b=y^{\prime}(0)=-2\), also \(a=\frac{1}{2} \) und \(b = \frac{5}{2} \).

Also ist \( y(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{5}{2} e^{-x} \) eine Lösung des AWPs.