Ich habe ja wirklich keine Ahnung, warum niemand auf die eigentliche Frage eingeht, aber: 
Es gilt sicherlich nicht $(1-a)=a(1+a+\dots+a^n)$!

In der vorletzten Zeile steht ein "mal" $\cdot$ und in der letzten Zeile steht ein "minus" $-$. Es wurde einfach nur die Multiplikation aus der vorletzten Zeile ausgeführt, das heißt $$(a^0+a+\dots +a^n)\cdot (1-a)=1\cdot (a^0+a+\dots+a^n)-a(a^0+a+\dots +a^n).$$Beachte außerdem $a^0=1$.

Es geht hier um die Summenformel für eine geometrische Reihe. Wie die allgemein hergeleitet wird erklärt meine Lernplaylist Folgen und Reihen 1. Der Fall hier ist ein Spezialfall. Wenn Du es selbst probieren möchtest, dann subtrahiere doch einmal a-mal Deine Summe 8sie sei S) von der Summe. Da bleiben nur zwei Terme übrig: Der erste und der letzte. Also \(S-aS = (1-a)S = 1-a^{n+1} \). Kommst Du nun klar?

Die Summe \(\sum_{i=0}^n a^i ={1-a^{n+1} \over 1-a}\)
Mit 0<a<1 folgt dann \( {1-a^{n+1} \over 1-a}< {1 \over 1-a}\)