Umkehrfunktion zu tanh(x)

Erste Frage Aufrufe: 278     Aktiv: 01.08.2023 um 14:55

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ich hänge ein bisschen beim herumrechnen, denn eigentlich ist die Inverse funktion von tanh die area tangens hyperbolicus Funktion mit \( 1/2 \log(x + 1) - 1/2 log(1 - x) \(. Ich komme aber immer auf: \( 1/2 (\log(x + 1) - \log(x - 1)) \(

So bin ich vorgegangen:

Um eine Umkehrfunktion zu bilden muss ich die Gleichung y = f(x) nach x auflösen.

Die Funktion \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\( ist auch (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)).

(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) = y

(e^x (1 - 1/e^(2x))/(e^x (1 + 1/e^(2x)) = y |* (1 + 1/e^(2x))

1 - 1/e^(2x) = y*(1 + 1/e^(2x)) |- 1

- 1/e^(2x) = y + y/e^(2x) - 1 |- (y/e^(2x))

-y/e^(2x) - 1/e^(2x) = y - 1

(y+1)/e^(2x) = 1 - y

(y+1)/(1-y) = e^(2x)

ln( (y+1)/(1-y) ) = 2x

1/2*ln((y+1)/(1-y)) = x

 

EDIT vom 01.08.2023 um 14:05:

ich hänge ein bisschen beim herumrechnen, denn eigentlich ist die Inverse funktion von tanh die area tangens hyperbolicus Funktion mit 1/2 log(x + 1) - 1/2 log(1 - x) . Ich komme aber immer auf:  1/2 (log(x + 1) - log(x - 1))

So bin ich vorgegangen:

Um eine Umkehrfunktion zu bilden muss ich die Gleichung y = f(x) nach x auflösen.

Die Funktion tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) ist auch (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)).

(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) = y

(e^x (1 - 1/e^(2x))/(e^x (1 + 1/e^(2x)) = y |* (1 + 1/e^(2x))

1 - 1/e^(2x) = y*(1 + 1/e^(2x)) |- 1

- 1/e^(2x) = y + y/e^(2x) - 1 |- (y/e^(2x))

-y/e^(2x) - 1/e^(2x) = y - 1

(y+1)/e^(2x) = 1 - y

(y+1)/(1-y) = e^(2x)

ln( (y+1)/(1-y) ) = 2x

1/2*ln((y+1)/(1-y)) = x

 

PS.: Das mit dem in Latex Formeln schreiben bekomm ich nicht hin :(

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hab meine anfängliche frage etwas verwirrt formuliert

1/2*ln((y+1)/(1-y)) = x
und 1/2*ln((y+1)/(y-1)) = x
sind doch nicht dasselbe (?)

oder gibt es eine ln sonderregel, sodass (1-y) und (y-1) dasselbe sind?
  ─   kleinerfrosch 01.08.2023 um 14:09

Nein, aber das obere ist richtig und entspricht ja dem soll-Ergebnis. Und nicht dem, wovon Du sagst, dass Du immer drauf kommst. Also alles gut.
Wenn's mit LaTeX nicht klappt, poste lieber ein Foto der Rechnung.
  ─   mikn 01.08.2023 um 14:55

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