Zusammenhänge: Erzeugende / Momentenerzeugende Fkt

Aufrufe: 77     Aktiv: 21.09.2021 um 16:14

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Moin zusammen,

ich habe folgendes Anliegen. Wie arbeite ich mit den Funktionen am "effizientesten". Ich zeig euch mal wo ich hängen geblieben bin.

Sei zum Zwecke der Veranschaulichung: \( g(t) = \frac{\frac{1}{2}e^t}{1-\frac{1}{2}e^t} \) Ich soll nun zeigen, für welche Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x), g(t) eine momentenerzeugende Funktion ist.

erzeugende Funktion: \( \phi_X(t)=\mathbb{E}[t^X]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(X=k)\cdot t^k \)

momentenerzeugende Funktion: \( m_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}] \)

Nun ist ja auf dem ersten Blick die geometrische Reihe zu sehen. Zuerst kann man mit \( \phi_X(t)=\mathbb{E}[t^x] \)  sagen, dass \(  \phi_X(s)=\frac{\frac{1}{2}s}{1-\frac{1}{2}s} \). Dies ist exakt die geometrische Reihe, und da der Faktor 0.5 ist, kann man sagen, dass die ZV geometrisch verteilt mit p=0.5 ist. Aber nachrechnen, müsste ja möglich sein?! Also dachte ich mir, ich versuch mein Glück.

1.) wenn man weiß, dass es geometrisch verteilt ist, muss ja \(f(s)= \mathbb{P}(X=s) = p(1-p)^{s-1}\) sein.
2.) also müsste \(  \phi_X(s)= \sum_{k=0}^{\infty}f(s)\cdot s^k \)
3.) dann müsste ja laut Definition \(  \phi_X(s)= \sum_{s=0}^{\infty} p(1-p)^{s-1} \cdot s^k\) sein, oder?

Ich hab dann bischen rumgerechet, aber kam dann nicht weiter, was sehr wahrscheinlich an meinen begrenzten Fähigkeiten aus Ana1 liegt, was ewig her ist. Die Frage ist nun:
- wie komme ich von erzeugender und momentenerzeugender Funktion auf die Wahrscheinlichkeits/ Dichtefunktion (immer Taylor-Entwicklung?)
- wenn ich eine ZV habe, sinnvoller (leichter) erst auf \( m_X(t) \) und von da aus dann auf \( \phi_X(t) \) zu gehen?

danke :)
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Also zunächst wäre \(\phi_X(s)=\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}s^k\). 

Zu 1). Beides bestimmt die Verteilung eindeutig. Mit der Zeit hat man die gängigen Funktionen drauf und erkennt dann, um welche Verteilung es sich handelt. 
Ansonsten lässt sich die Warhscheinlichkeit über $P(X=k)=\frac{\phi^{(k)}_X(0)}{k!}$ ermitteln.
Für die momenterzeugende Funktion hast du den Zusammenhang $m_X(t)=\phi_X(e^t)$.

Zu 2). Kann man i.A. nicht sagen. Zudem hängt es ja auch davon ab, was man erreichen will.
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