Abbildung zwischen zwei Mengen X und Y

Erste Frage Aufrufe: 160     Aktiv: 31.10.2023 um 14:59

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Ich habe Schwierigkeiten bei dem Beweis folgender Aussage. Ich möchte gerne durch Beweis durch Kontraposition zeigen, dass die Aussage nicht gilt, wenn f nicht injektiv ist. Ich hab aber leider nicht wirklich einen Ansatzpunkt, wie ich dies tun kann oder ob dies überhaupt der richtige Ansatz ist.




Aufgabe:
Es sei 
→ eine Abbildung zwischen zwei Mengen und . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(b) Es gilt genau dann f1(f(A)) ⊆ für jede Teilmenge ⊆ X, wenn injektiv ist.

Bemerkung: Mit f(Abzw. f1(Mbezeichnen wir das Bild bzw. Urbild von Mengen ⊆ und ⊆ unter der Funktion f. Diese Notation wird auch im Skript verwendet. Manchmal werden Bild und Urbild auch als f[Abzw. f1[Mbezeichnet (mit eckigen Klammern). Sie sollten beide Schreibweisen kennen.

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Zeige einfach beide Richtungen. Nimm an $f$ ist injektiv, dann überleg dir warum $f^{-1}f(A) \subseteq A$. Und dann die umgekehrte Richtung. Tipp: Wenn $f$ injektiv ist, dann gehen nicht mehrere Elemente auf dasselbe Element. Das heißt dass ein Element $f(x)$ im Bild $f(X)$ immer nur einelementige Urbilder hat.   ─   zestysupreme 31.10.2023 um 14:59
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