Bei solchen Aufgaben immer die Frage im Originalwortlaut mitliefern. Sonst wissen wir ja garnicht was bewiesen werden soll. Sicherlich ist entweder aus der Aufgabe oder aus deinen Aufzeichnungen her ersichtlich, dass $f_{(X,Y)}(x,y)=\exp(-y)$ ist. 

Zu deinen Grenzen, wie gesagt Aufgabenstellung mit beifügen, aber für den Fall 1 soll ja $0\leq x\leq y$ gelten, wodurch die Grenzen im Ersten Integral schon mal klar sind.

Desweiteren schau genau welche Variable die Integrationsvariable ist. Im ersten Integral integriert du nach $x$. Da $\exp(-y)$ von $x$ unabhängig ist wird der Ausdruck einfach als konstanter Faktor behandelt. Dadurch kommt bei der Stammfunktion das $x$ dazu. Im zweiten Integral ist dann $y$ deine Integrationsvariable.

Zu dem $c$, das ist die Konstante die beim Ableiten immer wegfällt und beim bilden eines unbestimmten Integrals wieder als Unbekannte Variable (meistens $c$ für constant aus dem englischen) aufgeschrieben wird. Du könntest sie auch weglassen, da sie sich beim bestimmten Integral immer verrechnet zu Null. Entweder lässt du das $c$ also bei der zweiten Stammfunktion weg, oder schreibst es bei der ersten Stammfunktion noch dazu. Ändert aber am Ergebnis nichts.