Randdichte und Lebesguedichte

Aufrufe: 229     Aktiv: 23.07.2023 um 14:47

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Nach Satz 5.14 gilt


Hallo liebe Community,

ich habe eine Frage bezüglich der obenstehenden Aufgabe. Dabei ist mir die ersten beiden Schritte der Umformung sowohl in f(y) als auch f(x) unklar. Ich verstehe erstens nicht warum der Ausdruck fx,y (x,y) zu exp(-y) wird und warum die Integralgrenzen zu 0 bis y werden und im anderen Fall zu x bis unendlich. Des weiteren ist mir unklar, wo einmal das x und einmal das + c im nachfolgenden Schritt der eckigen Klammern herkommt. Ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen.
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Bei solchen Aufgaben immer die Frage im Originalwortlaut mitliefern. Sonst wissen wir ja garnicht was bewiesen werden soll. Sicherlich ist entweder aus der Aufgabe oder aus deinen Aufzeichnungen her ersichtlich, dass $f_{(X,Y)}(x,y)=\exp(-y)$ ist. 

Zu deinen Grenzen, wie gesagt Aufgabenstellung mit beifügen, aber für den Fall 1 soll ja $0\leq x\leq y$ gelten, wodurch die Grenzen im Ersten Integral schon mal klar sind.

Desweiteren schau genau welche Variable die Integrationsvariable ist. Im ersten Integral integriert du nach $x$. Da $\exp(-y)$ von $x$ unabhängig ist wird der Ausdruck einfach als konstanter Faktor behandelt. Dadurch kommt bei der Stammfunktion das $x$ dazu. Im zweiten Integral ist dann $y$ deine Integrationsvariable.

Zu dem $c$, das ist die Konstante die beim Ableiten immer wegfällt und beim bilden eines unbestimmten Integrals wieder als Unbekannte Variable (meistens $c$ für constant aus dem englischen) aufgeschrieben wird. Du könntest sie auch weglassen, da sie sich beim bestimmten Integral immer verrechnet zu Null. Entweder lässt du das $c$ also bei der zweiten Stammfunktion weg, oder schreibst es bei der ersten Stammfunktion noch dazu. Ändert aber am Ergebnis nichts.

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