Meines Erachtens müsste die Formel für die Darstellungsmatrix bezüglich der geordneten Basis B lauten (wie du schon sagtest)
\(M(\phi_A)^B_B = S^{-1}AS\).
Multipliziert man einen Vektor zur Basis B von rechts an diese Darstellungsmatrix, dann wird dieser erst "übersetzt" in einen Vektor zur Standardbasis - dieser mit A abgebildet und dann wieder in einen Vektor zur Basis B übersetzt.
Vielleich vermischst du hier in deinem Verständnis die Basistransformation einer Basis und die Darstellungsmatrix zu einer bestimmten Basis einer linearen Abbildung?
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