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Die Differenzierung von Rechts- und Linksseitigem Limes ist eigentlich gar nicht notwendig und der Satz "Funktion ist auf R definiert und somit stetig" ist missverständlich. Die Stetigkeit in 0 hast du schon mit dem Limes gezeigt und die Stetigkeit auf dem Rest folgt nicht aus diesem Satz, sondern daraus, dass f außerhalb von 0 die Komposition stetiger Funktionen ist.
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42
13.05.2020 um 15:41
Achso also meinst du, dass für die Funktion die stetigkeit folgt, weil (e^x-1) und sin(1/x) als eigenes auch als stetig definierte Folgen gelten?
─ arslaanmirza 13.05.2020 um 15:50
─ arslaanmirza 13.05.2020 um 15:50
Also ich würde es so machen:
Stetigkeit in 0: Es gilt (für \( x \neq 0 \))
\( \vert f(x) \vert = \vert e^x-1 \vert \cdot \vert sin( \frac{1}{x} ) \vert \le \vert e^x - 1 \vert \)
Hieraus folgt
\( \vert \lim_{x \to 0} f(x) \vert = \lim_{x \to 0} \vert f(x) \vert \le \lim_{x \to 0} \vert e^x - 1 \vert = 0 \)
und somit
\( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) = f( \lim_{x \to 0} x ) \)
Also ist f in 0 nach dem Folgenkriterium stetig.
Stetigkeit außerhalb von 0: f ist außerhalb von 0 die Komposition stetiger Funktionen und somit dort stetig. ─ 42 13.05.2020 um 15:56
Stetigkeit in 0: Es gilt (für \( x \neq 0 \))
\( \vert f(x) \vert = \vert e^x-1 \vert \cdot \vert sin( \frac{1}{x} ) \vert \le \vert e^x - 1 \vert \)
Hieraus folgt
\( \vert \lim_{x \to 0} f(x) \vert = \lim_{x \to 0} \vert f(x) \vert \le \lim_{x \to 0} \vert e^x - 1 \vert = 0 \)
und somit
\( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) = f( \lim_{x \to 0} x ) \)
Also ist f in 0 nach dem Folgenkriterium stetig.
Stetigkeit außerhalb von 0: f ist außerhalb von 0 die Komposition stetiger Funktionen und somit dort stetig. ─ 42 13.05.2020 um 15:56
lim x-->0- = 0
lim x-->0+ = 0
f(0)=0
Funktion ist auf R definiert und somit stetig. ─ arslaanmirza 13.05.2020 um 15:35