Konvergenz gegen 1/e

Aufrufe: 26     Aktiv: 21.04.2021 um 17:17

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Ich muss zeigen, dass gegen \( \frac{1}{e} \) konvergiert

Ich habe geschrieben, dass \( (\frac{n}{n+1})^n = (\frac{n}{n+1})\cdot(\frac{n+1}{n})^{-(n-1)} = \frac{1- \frac{1}{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n-1}} \).
Konvergiert \( (1+\frac{1}{n})^{n-1} \) gegen e? Das -1 dürfte den Braten doch auch nicht fett werden, oder?
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Student, Punkte: 181

 

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So kann man das machen, ja. Ein formales Argument ist $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n-1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{-1}=e\cdot1$$
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