Überlege dir am besten zuerst, was genau die Unterschiede zur Definition von Stetigkeit sind. Wenn du dann glaubst, dass diese Unterschiede entweder nicht signifikant sind oder eine stärkere Eigenschaft fordern, dann versuche zu beweisen, dass eine Funktion, die die gegebene Bedingung erfüllt, auch stetig ist. Andernfalls versuche, ein Gegenbeispiel zu finden, also eine unstetige Funktion, die die Bedingung erfüllt.

Um das etwas genauer zu machen, erkläre ich mal (c). Was sind die Unterschiede zur normalen Definition der Stetigkeit? Der einzige Unterschied (bis auf die Reihenfolge der Quantoren, die hier aber beliebig vertauscht werden kann, da es alles All-quantoren sind), ist das \(\forall\delta>0\), während man bei Stetigkeit \(\exists\delta>0\) hat. Sei \(f\) eine Funktion, die (c) erfüllt. Dann gilt für alle \(\delta>0\), dass ... Dann finden wir sicher ein \(\delta>0\), sodass ... gilt, also sodass \(f\) stetig ist. Das war jetzt die Überlegung, die du haben könntest. Zum Aufschreiben solltest du formal die Stetigkeit nachweisen, z.B. so:

Sei \(f\) eine Funktion, sodass \(\forall\delta>0\forall\varepsilon>0:|f(x)-f(a)|<\varepsilon\) für alle \(x\in D\) mit \(|x-a|<\delta\). Sei \(\varepsilon>0\), setze \(\delta:=1\). Nach Voraussetzung gilt dann für alle \(x\in D\) mit \(|x-a|<\delta\), dass \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\). Also ist \(f\) stetig in \(a\).

(Genau genommen erfüllen (c) nur konstante Funktionen, aber das zu zeigen, ist unnötig.)