Sei \(x\) die Breite des Rechtecks, dann ist die Höhe des Rechtecks \(p(x)\) und der Flächeninhalt \(x\cdot p(x)\) (Höhe mal Breite). Von dieser Funktion musst du dann mit den üblichen Mitteln das Maximum finden, also ableiten, Nullstelle der Ableitung berechnen, Überprüfen, dass es ein Maximum und im richtigen Bereich liegt.

Hey,

du hast hier eine klassische Extremwertaufgabe. Du versuchst den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren.

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
\( A = a \cdot b \)

Die eine Seite des Rechtecks wird dann durch den Wert \( x \) und die andere Seite des Rechtecks, dessen Eckpunkt ja auf dem Graphen liegen soll, hat die Länge \( f(x) \).

Entsprechend kannst du einsetzen:

\( A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (-\frac{5}{9}x^2 + 5) = -\frac{5}{9}x^3 + 5x \)

Das ist deine Funktion für den Flächeninhalt, in Abhängigkeit deiner Wahl von \( x \). Je nachdem, wie du dein \( x \) wählst, wird sich eben der Eckpunkt auf der Kurve verschieben und du bekommt unterschiedliche Rechtecke. Um das maximale Rechteck zu ermitteln, musst du nun also das Maximum der Funktion \( A(x) \) berechnen. Also hier klassisch ableiten  und notwendige, sowie hinreichende Bedingung überprüfen.

VG
Stefan