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Hey,
du hast hier eine klassische Extremwertaufgabe. Du versuchst den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
\( A = a \cdot b \)
Die eine Seite des Rechtecks wird dann durch den Wert \( x \) und die andere Seite des Rechtecks, dessen Eckpunkt ja auf dem Graphen liegen soll, hat die Länge \( f(x) \).
Entsprechend kannst du einsetzen:
\( A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (-\frac{5}{9}x^2 + 5) = -\frac{5}{9}x^3 + 5x \)
Das ist deine Funktion für den Flächeninhalt, in Abhängigkeit deiner Wahl von \( x \). Je nachdem, wie du dein \( x \) wählst, wird sich eben der Eckpunkt auf der Kurve verschieben und du bekommt unterschiedliche Rechtecke. Um das maximale Rechteck zu ermitteln, musst du nun also das Maximum der Funktion \( A(x) \) berechnen. Also hier klassisch ableiten und notwendige, sowie hinreichende Bedingung überprüfen.
VG
Stefan