Taylorreihe einer Funktion bestimmen und den Konvergenzradius angeben

Erste Frage Aufrufe: 56     Aktiv: 07.02.2021 um 14:26

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a) Die differenzierbarkeit konnte ich zeigen, aber habe Mühe mit der Taylorreihe und dementsprechend auch dem Konvergenzradius. Ich habe versucht es mit der Definition von \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n} {n!} \) zu arbeiten und habe meine Funktion eingesetzt und erhalte nach umformen somit \( e^{-x^-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1} {x^{2n}n!} \). Jedoch nach den Lösungen die ich habe ist dies falsch und irgendwie sollte es 0 geben, was habe ich falsch gemacht? Wieso funktioniert das einsetzen der Summe nicht? Und wie komme ich auf 0?

 

b) Differenzierbarkeit konnte ich zeigen, aber für die Taylorreihe fehlt mir jeglicher Ansatz. :/ 

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Hallo,

die Formel für die Taylorreihe ist ja

$$ T_{f(x;a)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(a)} {n!} (x-a)^n $$

Nun hast du den veränderten Exponenten in das \( (x-a)^n \) eingesetzt. Was sich hier aber verändert sind die Ableitungen \( f^{(n)}(a) \). 
Du musst hier die Taylorreihe neu ausrechnen. Einsetzen kannst du das leider nicht. Aber das ist eigentlich sehr schnell berechnet. Wenn du die Funktion

$$ f(x) = \left\{ \begin{matrix} \mathrm{exp}(-x^{-2}) &, x \in \mathbb{R}\backslash \{0\} \\ 0 & x =0 \end{matrix} \right. $$

Im Punkt \(x=0\) differenzierst, was kommt dabei heraus? Du hast ja schon die Differenzierbarkeit dort berechnet, also solltest du den Wert sogar schon kennen. 
Das kannst du dann weiter ableiten (es wird sich hier nichts ändern). Setzt du das dann alles in die Taylorformel ein, erhälst du Null. 
Das macht ja auch Sinn, denn die Funktion wird ja Null für \( x=0 \). 

Für die (b): Eine Funktionenreihe kann man über

$$ f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x) \Rightarrow f'(x) = \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} \sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} f_n(x) $$

bestimmen. Allerdings muss man dabei vorsichtig sein, weil man das nicht bei jeder Funktionenreihe darf. Ist die Frage ob ihr was dazu gemacht habt und das vorher zeigen müsst, oder einfach differenzieren dürft. 
Wenn du jeden Falls die Ableitungen auf diese Weise berechnet hast, setze mal \( x=0 \) in die Ableitungen ein. Vielleicht fällt dir eine Regelmäßigkeit auf. Dann kannst du wieder über die Taylorformel deine Potenzreihe bestimmen.

Grüße Christian
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