Bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufrufe: 542     Aktiv: 11.01.2021 um 15:58
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Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Bei einer Klausur wählen Kandidaten zwei verschiedene Aufgaben. 60% der Schüler wählen die erste Aufgabe 40% die zweite Aufgabe. Von der ersten Gruppe fallen 13% durch von der zweiten 8%
1. Wie viele Prozent fallen insgesamt durch?
2. Ein Kandidat hat bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dieser die erste Aufgabe gewählt

Zu 1. Habe ich mit einem Baumdiagramm gelöst. Es ergibt sich 0,6*0,13 + 0,4*0,08=0,11 -> 11% fallen insgesamt durch.
Zu 2. Habe ich das Baumdiagramm umgedreht und die Gesamtmenge der bestandenen Prüfungen nach vorne gestellt. Daraus ergibt sich folgende Multiplikation: 0,89*0,6=0,534 -> die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 53,4%, dass der die Aufgabe 1 gewählt hat.
Ich bräuchte bitte nur eine kurze Info, ob meine Rechenwege soweit korrekt sind? Danke
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1 Antwort
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Die erste Frage hast du richtig berechnet.

Bei der zweiten Frage ist deine Antwort falsch. Wenn du beim Baumdiagramm die Reihenfolge der Ereignisse vertauschst, kannst du nicht erwarten, dass du auch einfach die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen vertauschen kannst. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Aufgabe 1 gewählt hat, der bestanden hat (also die Wahrscheinlichkeit, die in einem Baumdiagramm, dass mit der Entscheidung "bestanden"/"nicht bestanden" beginnt, am Ast zwischen "bestanden" und "Aufgabe 1" steht), ist nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit wie die, dass jemand Aufgabe 1 gewählt hat. Hier ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht. Dafür gibt es eine Formel: Sei \(A\) das Ereignis, das jemand bestanden hat und \(B\) das Ereignis, dass jemand die erste Aufgabe gewählt hat. Dann gilt $$P_A(B)=P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$$ (\(P_A(B)\) und \(P(B|A)\) sind beides übliche Schreibweisen für bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du solltest natürlich genau die Schreibweise benutzen, die du gelernt hast.) Weißt du, wie man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten in Zähler und Nenner berechnen kann?

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Wollte gerade auch antworten ... :-) Deshalb hier nur eine Ergänzung. Die berechnete Wahrscheinlichkeit bei der zweiten Frage, ist meines Erachtens auch nicht P(A und B). Hier liegt ein Fehler darin, dass im Baum (wenn die erste Stufe zwischen "bestanden" und "nicht bestanden" unterscheidet) bei den folgenden Ästen NICHT mit 0,6 und 0,4 gearbeitet werden darf. Von denen, die bestanden haben, haben NICHT 60 % die erste Aufgabe gewählt. sondern ein unbekannter Prozentsatz! Von ALLEN haben 60 % die erste Aufgabe gewählt. Die Wahrscheinlichkeit, die hier berechnet wurde mit 0,534 sollte in dieser Aufgabe überhaupt keine Rolle spielen. Oder? :-) Finde hier übrigens eine 4-Felder-Tafel nicht schlecht!   ─   andima 11.01.2021 um 14:37
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Du hast vollkommen Recht, ich hatte mich verlesen! Ich dachte, der Fragesteller hätte einfach \(0.87*0.6\) gerechnet, aber da steht ja \(0.89\). Ich bearbeite meine Antwort. Vielen Dank für die Anmerkung.   ─   stal 11.01.2021 um 14:42
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Wenn ich es nicht selbst schon durchgerechnet hätte, wäre es mir wohl gar nicht aufgefallen ... :-) Bei der Rechnung zur ersten Aufgabe steht in der Frage übrigens die Rechnung für "bestanden". :-) Ist aber sicherlich nur ein Versehen gewesen, sonst würde ja das Ergebnis nicht stimmen.   ─   andima 11.01.2021 um 14:48
Danke andima ich korrigiere es direkt...   ─   gschiwo 11.01.2021 um 15:02
Danke stal für deine Antwort. Ich verstehe Frage zwei leider immer noch nicht zu 100%
In der Angabe steht, dass 60% die Aufgabe 1 wählen. Ich weiß , dass von der ersten Gruppe 87% bestehen. Muss ich dann nach der oben genannten Formel 0,6 * 0,87 * / 0,89 rechnen, um zum korrekten Ergebnis zu kommen?   ─   gschiwo 11.01.2021 um 15:15
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Ganz genau!   ─   stal 11.01.2021 um 15:16
Danke stal. Also wäre es (nicht in Formel ausgedrückt) die Prozentsatz Gruppe 1 * Prozentsatz der Gruppe 1 "bestanden" / Prozentsatz der Gruppe Gesamt "bestanden"   ─   gschiwo 11.01.2021 um 15:22
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Nein, nicht ganz. Es ist (Wahrscheinlichkeit Gruppe 1) * (Wahrscheinlichkeit, dass jemand aus Gruppe 1 besteht) / (Wahrscheinlichkeit für "bestanden" aus der gesamten Gruppe).
Am besten merkst du dir die Formel aus meiner Antwort und zeichnest dir bei solchen Aufgaben eine Vierfeldertafel.   ─   stal 11.01.2021 um 15:26
ich bin nur etwas verwirrt, weil in deiner Formel oben P(A) steht. das hattest du damit definiert, dass jemand die erste Aufgabe gewählt hat. So müsste ich durch 0,6 dividieren. Oder steh ich komplett auf dem Schlauch? :-/   ─   gschiwo 11.01.2021 um 15:44
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Oh nein, ich habe \(A\) und \(B\) in der Formel vertauscht! Entschuldigung, dann ist klar, warum du verwirrt bist. Ich bessere es gleich aus. Du musst auf jeden Fall durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses teilen, das bereits gegeben ist. (hier also, dass jemand bestanden hat.)   ─   stal 11.01.2021 um 15:46
Okay, danke dann ist es mir jetzt klar :-) Danke nochmals!   ─   gschiwo 11.01.2021 um 15:58

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