Nein, das hat nichts mit der \(0\) zu tun. Die Abbildung $$M_{22}(\mathbb R)\to M_{22}(\mathbb R),A\mapsto A\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}$$ ist surjektiv. Surjektivität bedeutet ja, dass jedes Element im Zielbereich getroffen wird. Du könntest also bei deiner Funktion direkt eine Matrix angeben, die nicht von \(f\) getroffen wird, und zeigen, dass dies so ist.
Mit ein bisschen Linearer Algebra geht es aber viel einfacher. \(f\) ist eine Abbildung von einem 4-dimensionalen \(\mathbb R\)-Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum. Das Bild von \(f\) ist wieder höchstens ein \(4\)-dimensionaler Vektorraum und kann damit nicht ganz \(M_{23}(\mathbb R)\) sein. So zeigt man, dass keine lineare Abbildung, deren Zielmenge größere Dimension als ihr Definitionsbereich hat, surjektiv sein kann.