Wenn es anisotrop ist, ist das Gram-Schmidt-Verfahren auf jeden Fall durchführbar (weil die Nenner $(v,v)$ nie 0 werden).
Wenn es nicht anisotrop ist, kann es theoretisch passieren, dass man im Nenner $(v,v)$ mit einem isotropen $v$ erwischt, und dann funktioniert es halt so nicht.
Es kann aber auch sein, dass das GSV mit einer nicht-anisotropen Bilinearform durchläuft, weil im Nenner "zufällig" nur $(v,v)$ für anisotrope Vektoren auftritt.
Es ist also nicht so, dass es anisotrop sein muss, aber wenn es nicht anisotrop ist, kann man nicht mehr beweisen, dass das GSV durchführbar ist.
Nebenbei: Vergiss nicht beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail), damit wir den Überblick  behalten.