Deine Partialsummen sind nicht richtig. 

Du hast nur die Werte für die Terme mit n=0,1,2 ausgerechnet. Bei der Partialsumme musst du diese jedoch addieren!

Die Formel für die Partialsumme ist doch \( s_{n}= \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} \).

Es gilt also

\( s_{0}=1 \)

\(s_{1}=1+ \frac{1}{2} = 1,5 \)

\( s_{2}=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{24} \).

Bei der Konvergenzbestimmung bei Reihen, in denen Fakultäten auftauchen bietet es sich oft an das Quotientenkriterium zu probieren, da sich oft dadurch viel wegkürzt und meist auch die Fakuktätsoperation. Das sieht man in deinem Beispiel sehr schön:

Ich hoffe du hattest dieses Kriterium schon dran.

Hier noch ein etwas konplizierteres Beispiel, falls du das Kritium noch einmal üben möchtest:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(3n)!} \)

Untersuche doch mal analog diese Reihe auf Konvergenz.