Unendlichkeit, Wahrscheinlichkeit, Rätsel

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Angenommen seit ewiger Vergangenheit gibt es unendlich viele Murmeln, die unendlich viele Farben haben können. Diese Farben wechseln unendlich oft nach einem Gewissen Zeitraum bei allen Murmeln. Wenn eine Murmel Schwarz wird hört sie auf zu existieren. Es kann jeder Murmel passieren aber es wird immer Murmeln geben. Jetzt meine Frage:


1.: Wenn es alle Murmeln unendlich lange gibt und sie alle unendlich oft nicht schwarz waren, dann müsste die Chance dass alle Murmeln unendlich lange nie Schwarz waren eigentlich unmöglich bzw. Eins zu unendlich sein, weil sonst wäre es ja nach nicht unendlich vielen Veränderungen zumindest bei manchen passiert.


2. Wenn man einen beliebigen Zeitpunkt einer existierenden Murmel hernimmt, dann ist sie bis zu diesem Zeitpunkt unendlich oft nicht schwarz geworden, aber ab dem Zeitpunkt, wenn sie Schwarz wird dauert es weniger Veränderungen als unendlich.


Sind die beiden Punkte Widersprüchlich und ist die Ausgangslage mathematisch gesehen möglich?

 
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Hallo,

Unendlichkeit ist eher ein Konzept als eine Art Zahl mit der man rechnen kann. Deshalb ist sowas wie unendlich oft nicht immer ganz eindeutig zu interpretieren. Unendlichkeit bedeutet, dass etwas über alle Maße hinaus anwächst. Wir haben also eben nicht mehr die Möglichkeit dem ein Maß zuzurechnen, mit dem wir "normal" rechnen könnten.

Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null hat, dann sagt man auch nicht, dass das Eintreten des Ereignisses unmöglich ist, sondern dass das Eintreten des Ereignisses sehr unwahrscheinlich ist. 

Betrachten wir doch mal den folgenden Fall: Eine Murmel ist weiß, dann wird sie rot, dann wird sie wieder weiß, dann rot, dann blau, dann wieder weiß, dann rot, dann blau, dann gelb usw. 
Da wir unendlich Farben haben und immer wieder bei weiß anfangen, müssen wir ja unendlich oft weiß angenommen haben. Da wir unendlich Farben haben, muss aber auch unendlich oft -1 mal rot annehmen (was ist unendlich -1? im Prinzip immer noch unendlich) usw. 
Jede Farbe wird als unendlich oft angenommen von unendlich vielen Zahlen. 
Was sagt dir nun, dass du bei einem unendlich langen Zeitraum wirklich alle Kombinationen durch hast. Das ist eben das "Problem" mit der Unendlichkeit. Wir haben hier keine feste mathematische Zahl mit der wir "vernünftig" rechnen können. 

Deine zweite Aussage kann ich nicht 100%ig nachvollziehen. Ich glaube aber was du damit sagen willst, ist das wenn wir von unendlich vielen Wechseln unendlich viele abziehen, dann muss was endlich herauskommen. Auch das stimmt aber nicht zwangsläufig. Denn damit würden wir ja sagen, dass die eine Unendlichkeit um ein endliches Maß kleiner ist als die andere Unendlichkeit. Das würde aber bedeuten, dass wir die Unendlichkeit messen können was dem widerspricht wofür Unendlichkeit eigentlich steht. 

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dir damit bei deinem Problem helfe, aber ich hoffe dass dir das ein besseres Gefühl für das Konzept Unendlichkeit gibt. 

Grüße Christian

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Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 heißt nicht umsonst unmögliche Ereignis. Die entsprechende Aussage, dass ein solches Ereignis also sehr unwahrscheinlich eintritt, ist falsch.   ─   cauchy vor 1 Tag, 19 Stunden

Hallo cauchy, bei mir im Studium wurden Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 als "fast unmögliche" Ereignisse bezeichnet und nur das leere Ereignis als unmögliches Ereignis. Z.B. die häufig betrachtete Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] geht davon aus, dass für jedes $x\in[0,1]$ das Elementarereignis $\{x\}$ ein fast unmögliches Ereignis ist. Trotzdem stellt man sich vor, dass bei jeder angenommenen Versuchsdurchführung eines dieser Elementarereignisse eintritt.   ─   tobit vor 1 Tag, 18 Stunden

Ja so wie tobit habe ich es auch gelernt, Bei einer stetigen Verteilung hat jedes diskrete Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null. Trotzdem können diese Ereignisse auftreten. Ein Ereignis das nicht in der Ereignismenge ist, ist unmöglich.   ─   christian_strack vor 1 Tag, 7 Stunden

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Hallo user01b862,

folgender Vorschlag zum Verständnis der von dir beschriebenen Situation:
Wir stellen uns vor, dass es zum Zeitpunkt $0$ abzählbar unendlich viele Murmeln, also für jedes $n\in\mathbb{N}$ eine Murmel $M_n$ gibt.
Bei jedem "Zustandsübergang" von Zeitpunkt $k$ nach Zeitpunkt $k+1$ für $k\in\mathbb{N}$ verschwindet jede Kugel unabhängig von den anderen Kugeln mit Wahrscheinlichkeit $p\in(0,1)$.
Ich nehme also insbesondere an, dass es eine positive Wahrscheinlichkeit für das Verschwinden gibt (was bei unendlich vielen möglichen Farben alles andere als selbstverständlich ist).

Daraus resultiert dann folgender Vorschlag zur mathematischen Modellierung:
Wir betrachten eine stochastisch unabhängige Folge $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von geometrisch Verteilten Zufallsgrößen zum gleichen Parameter $p\in(0,1)$, wobei $X_n$ dafür stehe, zu welchem Zeitpunkt $k\in\mathbb{N}$ die Murmel $M_n$ verschwindet.

In diesem Modell kann man mittels Borel-Cantelli-Lemma zeigen, dass es zu jedem Zeitpunkt $k\in\mathbb{N}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Murmeln gibt, die nicht verschwunden sind. Formal: $P(\limsup_{n\to\infty}\{X_n>k\})=1$ für alle $k\in\mathbb{N}$.
Ebenso zeigt man, dass es mit zu jedem Zeitpunkt $k\ge 1$ mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Murmeln gibt, die verschwunden sind: Es gilt $P(\limsup_ {n\to\infty}\{X_n\le k\})=1$ für alle $k\in\mathbb{N}$ mit $k\ge 1$.

Fazit: Unter gewissen von mir getroffenen Annahmen, insbesondere einer positiven Wahrscheinlichkeit für das Schwarz-Werden, gibt es ein mathematisches Modell für deine Situation. Innerhalb eines solchen Modells lassen sich präzise mathematische Aussagen formulieren und beweisen.

Viele Grüße
Tobias
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Danke für deine Antwort, ich verstehe die ganzen Formeln nicht, werde mich aber bemühen das zu lernen. Was würdest du zu meinem punkt1 und punkt2 sagen, sind da Widersprüche oder ist das ganze Widerspruchsfrei so möglich?, danke nochmal.   ─   user01b862 vor 1 Tag, 17 Stunden

In dem von mir gewählten Modell wird jede Murmel mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft nicht schwarz.
Daher passen Aussagen von unendlich oft nicht schwarz gewordenen Murmeln nicht in mein Modell.
Möglicherweise trifft mein Modell daher doch nicht ganz das von dir vorgestellte.

Betrachten wir mal eine einzelne Murmel: Angenommen sie wird in jedem Schritt mit positiver Wahrscheinlichkeit p verschwinden und die Schritte sind unabhängig voneinander. Dann kann man in einem geeigneten Modell zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Verschwinden nach endlich vielen Schritten 1 ist.
Insofern erscheint mir die Vorstellung von unendlich vielen überlebten Schritten für eine einzelne Murmel, wie sie in Fragen 1. und 2. zum Ausdruck kommt, widersprüchlich.

Anders sieht es aus, wenn man von der Vorstellung Abstand nimmt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Schwarzwerden in jedem einzelnen Schritt positiv ist. Soll die Wahrscheinlichkeit für ein Schwarz-Werden in einem einzelnen Zustandsübergang positiv sein?
  ─   tobit vor 1 Tag, 17 Stunden

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