Inhomogenen DGL mit trig. Störfaktor eine doppelte Nullstelle

Erste Frage Aufrufe: 545     Aktiv: 10.02.2021 um 19:47
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Hallo Daniel,
 
hallo Community, eine Frage:
Sollte bei solch einer inhomogenen DGL mit trig. Störfaktor eine doppelte Nullstelle vorkommen, so wird in dem homogenen Lösungsanteil der Faktor x^1 oder höher auftauchen werden.
Wie wird der Koeffinzientenvergleich hierbei ausgeführt? Vergleich nach x^0, x^1,.. oder vergleich nach Cos und Sin?
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Beides ist voneinander zu trennen. Das Hinzufügen von Potenzen gilt für die homogene DGL. Der Ansatz für die partikuläre Lösung ist immer
\( (B_1 \cos mx + B_2 \sin mx) \), wobei im Fall von \( im = \lambda_1, .... \) noch ein \(x^q\) als Vorfaktor hinzu kommt, wobei q die Vielfachheit ist, mit der Lamda-Werte gleich im sind. Vielleicht interessieren dazu meine Videos?
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Vielen dank für die Antwort! Das sollte soweit geklärt sein.

Eine weitere Frage habe ich zur Störfunktion:
Sollte eine Summe aus Termen als Störfunktion einer inh. DGL vorhanden sein und einer der Summanden hat ein negatives Vorzeichen, Bsp: x-sin(2x): Muss das Minus vor dem Sinus beim Aufstellen der Ansatzfunktion berücksichtigt werden oder dann nur beim Bestimmen der Koeffizienten?

Gruß Marc   ─   [email protected] 10.02.2021 um 17:33

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.
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Um auf Deine Frage zurückzukommen. Dein Ansatz wäre \(A_1x + A_2 +B_1 \sin (2x) +B_2 \cos(2x) \). Beachte dabei: 1. Die Vorzeichen ergeben sich beim Koeffizientenvergleich, egal, ob Du plus oder minus im Ansatz schreibst. 2. es müssen auch bei einer reinen Sinusstörfunktion beide Terme im Ansatz vorkommen. 3. Sollte \(\lambda= 0 \) Eigenwert der homogenen Gleichung sein, dann müßte noch ein "x spendiert" werden beim Polynomanteil  im Ansatz. Schau' ruhig noch einmal in meine Videos.
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