Konvergenz bzw. Grenzwerte, warum sind meine Umformungsschritte erlaubt?

Erste Frage Aufrufe: 145     Aktiv: 12.03.2022 um 00:15

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Hi, ich habe die Aufgabe:

gegeben. Ich soll hier erstmal sagen, ob es eine Konvergenz gibt oder nicht.
Ich habe mir gedacht naja, ich kann ja n^(-1) im Zähler umschreiben zu 1/n und das ist ja, wenn ich das gegen unendlich laufen lasse =0.
 
Unten habe n^(-2) im Nenner, umgeschrieben 1/n^2, das ist, wenn ich das gegen unendlich laufen lasse auch 0.
 
Also habe ich ja abgeschätzt:

und somit:

oder auch anders geschrieben:

So könnte ich ja eigentlich begründen, dass es gegen 0 läuft. Was ich nicht kapiere, warum darf ich eigentlich so abschätzen?
 
Ich weiß, dass ich so abschätzen kann, aber nicht warum es legitim ist.

(7/8)^n ist ja größer als:

also abgeschätzt, aber dürfe ich z. B. auch nacbh unten irgednwie abschätzen, also dass ich sage: 

irgendetwas kleiner als ?

Wenn ja warum? Warum sind meine Umformungsschritte überhaupt legitim?


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Man sollte nie nie niemals wirklich nie (!) teilweise den Grenzwert bilden. Ansonsten würde $\frac{1}{n}\cdot n$ gegen 0 gehen, weil $\frac{1}{n}$ gegen 0 geht und 0 mal irgendwas ja 0 ist. Aber der Ausdruck kürzt sich ja offensichtlich zu 1 und geht daher gegen 1!   ─   cauchy 11.03.2022 um 21:40
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Deine ersten Überlegungen zum Grenzwert sind nicht erlaubt. Man kann das mal probieren um eine Idee zu kriegen, aber die Idee kann auch falsch werden und ein Beweis ist das nicht. Deshalb, weil es keinen Satz gibt, der diese Aussagen erlaubt.
Man sollte Begründungen und Argumente nur dann verwenden, wenn man von deren Richtigkeit überzeugt ist. Keine anderen.
Eine richtige Idee ist hier das Abschätzen: (ich nenne die Folge mal $x_n$)
Erstmal nach unten: Überlege, warum $x_n>0$ ist für alle $n$.
Und dann nach oben: Beachte dabei: Ein Bruch wird größer, wenn der Nenner kleiner wird. Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird. Eine Differenz wird größer, wenn weniger subtrahiert wird. Wende diese drei Argumente (nachdem Du Dich 100%ig überzeugt hast, dass diese Überlegungen zutreffen) in der richtigen Weise an, um $x_n\le$ eine Nullfolge zu zeigen.
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Das ist merkwürdig, andere Mathematiker auf anderen Foren meinen, das sei erlaubt   ─   burgerking 11.03.2022 um 22:27

Ich habe ja abgeschätzt, ich habe mir gedacht gut -n ^-1 werden eh 0 sein und +n^2 ebenso. Auf Langzeit gesehen.   ─   burgerking 11.03.2022 um 22:34

Siehe meinen Kommentar unter deiner Frage.

Oh, dann zeig mal die Forenbeiträge der anderen. Würde mich jetzt interessieren. :)
  ─   cauchy 11.03.2022 um 22:36

Okay moment:
https://www.matheboard.de/thread.php?postid=2209280#post2209280
  ─   burgerking 11.03.2022 um 23:51

Da bin ich auch mal gespannt, was andere Mathematiker da anders sehen. Ich vermute, das ist ein Missverständnis. Im übrigen heißt "abschätzen" in der Mathematik, dass man einen Ausdruck größer oder kleiner macht, ("nach oben abschätzen" bzw. "nach unten abschätzen"). Was Du meinst und gemacht hast, heißt "schätzen". Dabei sagt man, dass ein Ausdruck irgendwie ungefähr so und so groß ist. Das ist aber für einen Nachweis nicht ausreichend und kann außerdem gehörig ins Auge gehen.
Es ist, wie cauchy schon sagte, nicht erlaubt (weil es oft zu falschen Ergebnissen führt), erstmal das eine n gegen unendlich gehen zu lassen, danach ein anderes n. Das von ihm oben angegebene Beispiel ist total einfach und enorm lehrreich. Denke das mal genau durch.
  ─   mikn 11.03.2022 um 23:53

Hast Du das in dem link wirklich gelesen? Da steht exakt dasselbe, was cauchy und ich (und jeder vernünftige Mathematiker) sagen.   ─   mikn 11.03.2022 um 23:54

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Ich sehe auch nicht, wo man in der Antwort aus dem Link herauslesen kann, dass es erlaubt sei. Es steht ja haargenau drin, dass es das eben nicht ist. Interessant ist aber auch, warum du deine Frage hier nochmal stellst, wenn du da bereits eine meiner Meinung nach ausreichende Antwort erhalten hast.   ─   cauchy 12.03.2022 um 00:13

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