Hey,

ich versuche es mal zu erklären, ist verbal aber nicht ganz so einfach:

Für deine Skizze. Deine Zustände in den Kreisen hast du erstmal richtig herausgesucht. Jetzt kennzeichnet \( x_1 \) die Entscheidung, wie viel Geld du in Medium 1 investiert, analog \( x_2 \) für Medium 2 und \( x_3 \) für Medium 3.

An die Pfeile kannst du nun die Reichweite die die entsprechende Investition einbringt dran schreiben. Wenn du 2 GE in Medium 1 investierst, bringt das eben eine Reichweite von 4, das schreibst du also an den oberen Pfeil. Entsprechend liefert eine Investition von 4 GE eine Reichweite von 5 und 6 GE führt zu einer Reichweite von 7.

In der mittleren Stufe wird es jetzt etwas tricky. Von der 2 im \( Z_1 \) kannst du durch eine Investition nur die \( 6 \) und \( 8 \) bei \( Z_2 \) erreichen. Entsprechend kannst du von der \( 2 \) aus auch nur die 2 Pfeile einzeichnen. Gleiches gilt für die Pfeile, die von der \( 6 \) im \( Z_1 \) ausgehen. Auch dort kannst du nur Pfeile zur \( 8 \) und \( 10 \) zeichnen. Von den \( 4 \) im \( Z_1  \) kannst du jedoch durch eine Investition in Medium 2 jeden anderen Zustand in \( Z_2 \) erreichen. Entsprechend kannst du von da aus 3 Pfeile einzeichnen. Die Pfeile beschriftest du wieder mit der Reichweite, die eine entsprechende Investition der GE in Medium 2 bringt.

Von \( Z_2 \) zum Zustand \( Z_3 \), also den 12 GE, ist die Entscheidung, wie viel GE du in Medium 3 investierst. Entsprechend zeichnest du auch dort wieder von jedem Zustand in \( Z_2 \) einen Pfeil zu der \( 12 \). Diese Pfeile beschriftest du nun wieder mit der Reichweite, die eine entsprechende Investition in Medium 3 bringt. Ist dein \( Z_2 = 6 \), dann kannst du noch 6 GE in Medium 3 investieren und das bringt eine Reichweite von 8. Analog kannst du vom Zustand \(Z_2 = 8 \) noch 4 GE in Medium 3 investieren, was dir ebenfalls eine Reichweite von 8 bringt. Zuletzt kannst du von \( Z_2 = 10 \) nur noch 2 GE in Medium 3 investieren, die entsprechende Reichweite dadurch beträgt 5.

Nun hast du alle Pfeile eingezeichnet und musst sozusagen den maximalen Weg durch diesen Pfad finden.

Dafür verwendest du die Rückwärtsrekursion.

Du schaust dir also an, welcher Weg von \( Z_2 \) nach \( Z_3 = 12 \) den größten Ertrag bringt. Das sind die Wege von \( Z_2 = 6 \) und \( Z_2 = 8 \), die beide eine Reichweite von 8 bringen. Diese Argumente musst du nun den entsprechenden Einträgen in der Tabelle zuordnen.

\( Z_3 = 12 \) in allen Zeilen, da das dein Endzustand ist. \( Z_2 = 6, 8, 10 \) also das sind die jeweiligen Zeilen der Tabelle, d.h. eine für jeden Zustand \( Z_2 \). Und \( x_3 \) beschreibt die Geldmenge, die in Medium 3 investiert wird, also die Differenz aus \( Z_3 \) und \( Z_2 \). \( f_3(z_2,x_3) \) da musst du die durch die Investition \( x_3 \) erhaltene Reichweite eintragen. \( F_3^{\ast}(Z_3) \) sollte 0 sein. Und \( F_2(z_2) = F_3^{\ast}(Z_3)+ f_3(z_2,x_3) \)

Die anderen Tabellen füllst du dann gemäß deiner Formeln weiter aus.

Am Ende solltest du \( x_1 = 2, x_2 = 6, x_3 = 4 \) herausbekommen, was zu einer optimalen Reichweite von 19 führt.

Die einzelnen Schritte sind schwer zu erklären. Ich hoffe dir hilft es schon, wenn du weißt, wie der entsprechende Graph aussieht. Ihr hattet ja sicherlich Beispiele dazu, an denen kannst du dich ja dann auch langhangeln.