Wie schon bei der vorigen Frage. Achte auf jedes(!) Zeichen, mach Dir bei jedem(!) aufgeschriebenem Zeichen klar, was für ein Objekt es ist. Neu eingeführte Bezeichnungen müssen erklärt werden. Dazu sind Worte nötig.
Insb. ist hier nicht $l^{-1}$ gefragt, sondern $(l(h))^{-1}$. Steht ja auch in der Aufgabe - wenn man genau(!) liest. Mach Dir den Unterschied klar.
Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K
Und $l^{-1}$ ist natürlich nicht das gleiche wie $l^{-1}(h)$ - nochmal: achte auf jedes Zeichen. Schreib kein einziges Zeichen hin, von dem Du nicht 100%ig verstanden hast, was es überhaupt für ein Objekt ist. ─ mikn 25.11.2023 um 23:27
Daher Kurzausflug in die Schulmathematik:
$f$ Funktion, $f(x)$ Funktionswert von $x$. Notation entweder: $f:x\mapsto f(x)$ oder $f:X\longrightarrow Y$ def. durch $f(x)=...$ für alle $x\in X$.
Nichts weglassen.
Weiter: Jeder(!) Beweis einer Aussage wie "Zeigen Sie.... für jedes h ist..." beginnt zwingend mit: "Sei h..... ." Punkt.
"Annahme" ist der falsche Begriff. Wenn man etwas annimmt, braucht man es nicht mehr nachzuweisen.
Ich füge nun in Deine Ausführungen in eckigen Klammern die Gedanken ein, die Du noch nicht gemacht hast.
$f(h)(z)$ [was ist $f$? fällt vom Himmel, s.o. für saubere Def. von Funktionen] $=h^{-1}z$ [Objekt in $H$] sei Umkehrfunktion [Widerspruch: Objekte in $H$ sind keine Funktionen]. ─ mikn 26.11.2023 um 12:42
Generell: Wenn Du schon selbst Mängel findest, dann poste doch gleich eine korrigierte Version, bevor ich mich durch eine arbeite, von der Du schon weißt, dass sie nicht passt.
Zum Beweis: Du kannst die Umkehrfunktion einfach $f$ nennen. $h$ ist ja durch den Anfang des Beweises festgelegt.
Besser dann: Wir def. $f:H\longrightarrow H$ durch $f(z):=h^{-1}z$ (verwende $:=$ bei Definitionen).
Weiter: "Beh.: $f$ ist(!!!) die Umkehrfunktion zu $l(h$)." (oder kurz: $f=(l(h))^{-1}$).
Mach Dir den Unterschied zwischen "sei" (Konjunktiv) und "ist" klar (->Deutschunterricht).
Die Zeile mit "x kann hierbei...." ersatzlos streichen. Die Abb. sind ja dadrüber erklärt.
Dann aber kommst Du auf Abwege: Ab "wir prüfen" gehen wieder Funktionen und Funktionswerte durcheinander.
Bearbeite es nochmal nach diesen Hinweisen.
Ich finde gut, dass Du geduldig am Ball bleibst. ─ mikn 26.11.2023 um 21:55
Ich habe mich bereits mit der zweiten Aussage erneut beschäftigt. Ich muss ja zeigen, dass $l(ab) = l(a) \cdot l(b)$ gilt. Der Funktionswert von $l$ ist aber ja wieder eine Funktion $l(h)$. Ich kann ja nicht einfach den Funktionswert für $l(h)$ als Funktionswert für $l$ gleichsetzen? Der Funktionswert von $l$ bezieht sich ja nur auf die Funktion selber? ─ unclever2001 27.11.2023 um 00:27
Übrigens, die Kurzfassung von zestys Antwort unten ist: $f=(l(h))^{-1}$ (das wussten wir schon) $=l(h^{-1})$. Und eigentlich solltest Du ganz oben auch begründen, dass $h^{-1}$ überhaupt existiert.
Es hilft übrigens bei Funktionen an den Wortsinn zu denken, die Funktion eines Schraubenziehers ist "Schrauben ziehen" (Unterschied "Schrauben ziehen" und Funktionswert "gezogene Schraube"). Hier ist die Funktion $l(h)$: "links $h$ dranmultiplizieren", so dass schnell klar ist, dass die Umkehrfunktion lautet "links $h^{-1}$ dranmultiplizieren".
Sind denn die anderen Aufgabenteile jetzt noch relevant für Dich? ─ mikn 27.11.2023 um 16:46
Bzgl. $\operatorname{Sym}(H)\cong S_n$ kann man sich leicht überlegen dass das dieselbe Gruppe ist, die Elemente heißen bloß anders. Überleg dir was $S_n$ macht und was $\operatorname{Sym}(H)$ macht, das sind beides einfach nur Symmetriegruppen von Mengen mit $n$ Elementen. Ob die Elemente jetzt $1,2,3,...$ oder $h_1,h_2,h_3,...$ heißen ist belanglos.
─ zestysupreme 29.11.2023 um 19:35