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Es geht um folgende Aufgabe:

Also ich habe 1.) bereits gelöst, meine ich zumindest. Ich bin ähnlich wie bei meiner vorherigen Frage hier mit dem Finden einer Umkehrabbildung vorgegangen und kam auf folgendes Ergebnis:

Ich weiß jetzt nicht ob es legal ist die Variable aus dem Definitionsbereich der Umkehrabbildung z zu nennen oder ob es g sein soll. Vielleicht hätte ich noch schreiben sollen das es $z=g$ ist, damit da keine Zweideutigkeit herrscht.
Also meine eigentliche Frage geht aber zu 2.), ich habe dort versucht den Gruppenhomomorphismus zu beweisen aber kam auf folgendes Ergebnis:

Die Abbildung die in der Aufgabe gegeben ist, ist nach meiner Annahme ein wenig verkettet. Also das Bild der ersten Abbildung $l$ ist eine weitere Abbildung $l(h)$. Ich kann also schreiben $l(h)=l(h)$, was ein wenig verwirrend ist. Also ich weiß nicht ob ich gerade einen offensichtlichen Fehler mache oder nicht. Ich komme nicht darauf, dass die Bedingung für den Gruppenhomomorphismus stimmt. Könnte mir da jemand helfen?

EDIT vom 26.11.2023 um 20:26:

Meine aktuelle Rechnung:

EDIT vom 27.11.2023 um 00:00:

Meine korrigierte Rechnung:

EDIT vom 27.11.2023 um 14:21:

Meine nächste korrigierte Rechnung:
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Erstmal mach 1.) richtig.
Wie schon bei der vorigen Frage. Achte auf jedes(!) Zeichen, mach Dir bei jedem(!) aufgeschriebenem Zeichen klar, was für ein Objekt es ist. Neu eingeführte Bezeichnungen müssen erklärt werden. Dazu sind Worte nötig.
Insb. ist hier nicht $l^{-1}$ gefragt, sondern $(l(h))^{-1}$. Steht ja auch in der Aufgabe - wenn man genau(!) liest.  Mach Dir den Unterschied klar.
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Sorry, das sollte natürlich nicht so sein. Ich habe $l^{-1}$ zu $(l(h))^{-1}$ geändert. Wenn dort ja $l^{-1}(h)$ stehen würde, dann wäre es ja auch falsch, da es das gleiche wie $l^{-1}$ wäre? Ich bin aber ein wenig überfragt, was ich jetzt bei 1.) genau anders machen soll. Ich soll ja zeigen, dass $l(h)$ eine Umkehrfunktion hat oder nicht? Ist das jetzt $(l(h))^{-1}$? Ist jetzt mein Ergebnis oben für die Umkehrfunktion falsch? Also ich habe noch als Erklärung zu $z$ dazugeschrieben, dass $z$ das Urbild von $(l(h))^{-1}$ und das Bild von $l(h)$ ist, deshalb gilt $z=g$.   ─   unclever2001 25.11.2023 um 23:25

$(l(h))^{-1}$ darfst Du erst hinschreiben, wenn Du $l(h)$ als umkehrbar bewiesen hast. Das kann man z.B. machen, indem man die Umkehrabbildung explizit hinschreibt und danach den Nachweis führt.
Und $l^{-1}$ ist natürlich nicht das gleiche wie $l^{-1}(h)$ - nochmal: achte auf jedes Zeichen. Schreib kein einziges Zeichen hin, von dem Du nicht 100%ig verstanden hast, was es überhaupt für ein Objekt ist.
  ─   mikn 25.11.2023 um 23:27

Ok, ich habe jetzt nach meinem Verständnis folgendes geschrieben: Seien $h, g, z \in H$. Annahme: $f(h)(z)=h^{-1}z$ sei die Umkehrfunktion von $l(h)(g)=hg$ (darunter verstehe ich die explizite Form). Nachweis: $l(h)(g) \cdot f(h)(z) = l(h)(f(h)(z)) = h(h^{-1}z) = z = id_{H}$ und $f(h)(z) \cdot l(h)(g) = f(h) (l(h)(g)) = h^{-1}(hg) = g = id_{H}$. Die Umkehrfunktion wird auch von $h$ abhängen müssen, da das Urbild der Umkehrfunktion $z$ ebenfalls von $h$ abhängt. $z$ entspricht einem beliebigen Element aus dem Bild von $l(h)$. Daraus kann ich ja schlussfolgern, dass $f(h)(z) = h^{-1}z$ eine Umkehrfunktion ist und würde in expliziter Form schreiben $f(h)(z) = (l(h)(g))^{-1}$. Das "hoch" -1 bezieht sich jetzt auf das "ganze" $l(h)(g)$? Sorry, ich hab diese Notation noch nie gesehen, ich würde halt dazu eher schreiben: $l^{-1}(h)(g)$. Und wenn ich richtig verstehe, dann ist dies zu unterscheiden zu "nur" $l^{-1}$. Ich merke gerade auch, dass wenn ich versuche jedes Zeichen zu verstehen, dass gerade sehr viele Unsicherheiten entstehen und ich nicht eindeutig weiß was gerade diese Objekt ist, was du ja gerade angemerkt hast.   ─   unclever2001 26.11.2023 um 12:06

Ja, und Deine Unsicherheiten kommen daher, dass Du immer noch nicht klar hast, von welchen Objekten Du redest. Damit holst Du Dir die Verwirrung rein. Insb. verwechselst Du Funktion und Funktionswert, was in dieser Aufgabe fatal ist, da teilweise Funktionswerte selbst wieder Funktionen sind.
Daher Kurzausflug in die Schulmathematik:
$f$ Funktion, $f(x)$ Funktionswert von $x$. Notation entweder: $f:x\mapsto f(x)$ oder $f:X\longrightarrow Y$ def. durch $f(x)=...$ für alle $x\in X$.
Nichts weglassen.
Weiter: Jeder(!) Beweis einer Aussage wie "Zeigen Sie.... für jedes h ist..." beginnt zwingend mit: "Sei h..... ." Punkt.
"Annahme" ist der falsche Begriff. Wenn man etwas annimmt, braucht man es nicht mehr nachzuweisen.
Ich füge nun in Deine Ausführungen in eckigen Klammern die Gedanken ein, die Du noch nicht gemacht hast.
$f(h)(z)$ [was ist $f$? fällt vom Himmel, s.o. für saubere Def. von Funktionen] $=h^{-1}z$ [Objekt in $H$] sei Umkehrfunktion [Widerspruch: Objekte in $H$ sind keine Funktionen].
  ─   mikn 26.11.2023 um 12:42

Ich habe versucht deine Anmerkungen umzusetzen. Ich habe also die Funktion nach deinem Muster versucht zu definieren. Ich ergänze oben die Rechnung. Grundsätzlich dürfte aber das Ergebnis meiner Rechnung trotzdem passen? Ich bitte um Entschuldigung, falls ich wieder etwas nicht beachtet habe und sich das hier zu lange zieht.   ─   unclever2001 26.11.2023 um 20:26

Ich sehe gerade das ich wieder etwas übersehen habe.. Ich habe nicht konstant f(h) geschrieben... Bei der Behauptung und was gelten soll, habe ich f(h) jetzt überall stehen.   ─   unclever2001 26.11.2023 um 20:51

Das sieht schonmal viel besser aus.
Generell: Wenn Du schon selbst Mängel findest, dann poste doch gleich eine korrigierte Version, bevor ich mich durch eine arbeite, von der Du schon weißt, dass sie nicht passt.
Zum Beweis: Du kannst die Umkehrfunktion einfach $f$ nennen. $h$ ist ja durch den Anfang des Beweises festgelegt.
Besser dann: Wir def. $f:H\longrightarrow H$ durch $f(z):=h^{-1}z$ (verwende $:=$ bei Definitionen).
Weiter: "Beh.: $f$ ist(!!!) die Umkehrfunktion zu $l(h$)." (oder kurz: $f=(l(h))^{-1}$).
Mach Dir den Unterschied zwischen "sei" (Konjunktiv) und "ist" klar (->Deutschunterricht).
Die Zeile mit "x kann hierbei...." ersatzlos streichen. Die Abb. sind ja dadrüber erklärt.
Dann aber kommst Du auf Abwege: Ab "wir prüfen" gehen wieder Funktionen und Funktionswerte durcheinander.
Bearbeite es nochmal nach diesen Hinweisen.
Ich finde gut, dass Du geduldig am Ball bleibst.
  ─   mikn 26.11.2023 um 21:55

So, ich habe versucht es umzusetzen. Danke dafür. Meine korrigierte Rechnung ist oben. $l(h)$ ist ja alleine betrachtet eine Funktion, auch wenn es ein Funktionswert in $l$ ist. $f$ kann ich ja alleine schreiben als Funktion, weil du ja meintest, dass es unnötig sei $f(h)$ zu schreiben.
Ich habe mich bereits mit der zweiten Aussage erneut beschäftigt. Ich muss ja zeigen, dass $l(ab) = l(a) \cdot l(b)$ gilt. Der Funktionswert von $l$ ist aber ja wieder eine Funktion $l(h)$. Ich kann ja nicht einfach den Funktionswert für $l(h)$ als Funktionswert für $l$ gleichsetzen? Der Funktionswert von $l$ bezieht sich ja nur auf die Funktion selber?
  ─   unclever2001 27.11.2023 um 00:27

Wir sind noch bei 1. Ich hatte Dich auf den Fehler in der Zeile "Wir prüfen" hingewiesen, der ist nicht korrigiert (und deutet darauf hin, dass das sich-klar-machen, von welchen Objekten Du redest, noch nicht funktioniert).   ─   mikn 27.11.2023 um 12:27

Ja, ich glaube ich sehe gerade den Fehler. Danke nochmal für den Hinweis. Habe ich gestern nicht mehr gesehen. Ich habe es wieder korrigiert hochgeladen.   ─   unclever2001 27.11.2023 um 14:24

Interessanterweise hat mein Übungsleiter mir trotzdem volle Punktzahl gegeben ohne Anmerkung. Ich hätte tatsächlich diesen Fehler in der "Wir prüfen" Zeile weiterhin als richtig abgestempelt, wenn du mir das nicht gesagt hättest.   ─   unclever2001 27.11.2023 um 16:11

Es gibt eben engagierte Übungsleiter und andere.
Übrigens, die Kurzfassung von zestys Antwort unten ist: $f=(l(h))^{-1}$ (das wussten wir schon) $=l(h^{-1})$. Und eigentlich solltest Du ganz oben auch begründen, dass $h^{-1}$ überhaupt existiert.
Es hilft übrigens bei Funktionen an den Wortsinn zu denken, die Funktion eines Schraubenziehers ist "Schrauben ziehen" (Unterschied "Schrauben ziehen" und Funktionswert "gezogene Schraube"). Hier ist die Funktion $l(h)$: "links $h$ dranmultiplizieren", so dass schnell klar ist, dass die Umkehrfunktion lautet "links $h^{-1}$ dranmultiplizieren".
Sind denn die anderen Aufgabenteile jetzt noch relevant für Dich?
  ─   mikn 27.11.2023 um 16:46

Danke für die Tipps. Also ich habe alle Aufgabenteile bis auf die 4. Aussage geschafft. 1-3 scheint laut der Korrektur richtig zu sein. Ja, also bei der 4. Aussage habe ich nicht wirklich etwas hinbekommen.   ─   unclever2001 28.11.2023 um 15:59

Die 4 folgt aus 1-3. Wenn $l$ ein injektiver homomorphismus ist, dann ist $H$ eine Kopie des Bildes $l(H)\subset \operatorname{Sym}(H)$ (das Bild eines Gruppenhomomorphismus ist immer eine Untergruppe) und $\operatorname{Sym}(H)$ ist isomorph zu $\operatorname{Sym}_n$ da $H$ von Ordnung $n$ ist.   ─   zestysupreme 28.11.2023 um 19:54

Zu 4. solltest Du (mindestens) hinbekommen zu formulieren, was jetzt noch zu zeigen bleibt (dass 1.-3. Vorarbeiten dazu sind, ist ja hoffentlich klar).   ─   mikn 28.11.2023 um 19:55

Also erstmal zu meinen Gedanken, die ich zumindest noch aufgeschrieben habe bei der Abgabe: Ja, ich war mir im Klaren, dass 1-3 Vorarbeiten waren und habe mir überlegt, dass ich nur noch die Surjektivität der Abbildung $l$ zeigen muss (ich habe als Bedingung aufgeschrieben: $\forall f\in Sym(H): \exists h\in H$ mit $l(h) = f$). Das liegt daran, dass ich ja nur bisher gezeigt habe, dass es sich um einen injektiven Gruppenhomomorphismus handelt (wie zestysupreme geschrieben hat, danke an dir). Dann habe ich aber gesehen, ohne den Zusammenhang zwischen $Sym(H)$ und $S_{n}$ zu verstehen, dass ich ja "nur" gezeigt habe, dass $H$ und $Sym(H)$ isomorph sind. Und ab dem Punkt wusste ich auch nicht mehr weiter. Wenn ich das von zestysupreme mir gerade durchlese und versuche zu verstehen, dann kann man also bei einem injektiven Homomorphismus sagen, dass das Urbild $H$ und das Bild $l(h)$ eine exakte Kopie sind (müsste ich denke ich auch noch zeigen). $Sym(H)$ und $S_{n}$ sind isomorph, weil sie die gleiche Ordnung haben? Ich glaube das muss ich mir noch ein wenig durch den Kopf zergehen lassen, ich wäre nicht darauf gekommen.   ─   unclever2001 29.11.2023 um 17:42

Ich würde hier nicht unbeding ans "Urbild" denken, auch wenn du vermutlich das richtige meinst. Was ich oben geschrieben habe meint das folgende: Du weißt hoffentlich, dass das Bild $\phi(G_1)\subseteq G_2$ eines Gruppenhomomorphismus $\phi\colon G_1\to G_2$ immer eine Untergruppe ist. Wenn nun $\phi$ injektiv ist, dann ist $\phi\colon G_1\to \phi(G_1)$ ein Isomorphismus. Also ist $G_1$ eine (isomorphe) Kopie von $\phi(G_1)$ in $G_2$. Mit anderen Worten: $G_1$ lebt als Kopie (also als Untergruppe) in $G_2$. Das ist aber nur dann wirklich der Fall, wenn $\phi$ injektiv ist.

Bzgl. $\operatorname{Sym}(H)\cong S_n$ kann man sich leicht überlegen dass das dieselbe Gruppe ist, die Elemente heißen bloß anders. Überleg dir was $S_n$ macht und was $\operatorname{Sym}(H)$ macht, das sind beides einfach nur Symmetriegruppen von Mengen mit $n$ Elementen. Ob die Elemente jetzt $1,2,3,...$ oder $h_1,h_2,h_3,...$ heißen ist belanglos.
  ─   zestysupreme 29.11.2023 um 19:35

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Hier ist was in dieser Aufgabe passiert: Du hast eine endliche Gruppe $H$ der Ordnung $n$. Jetzt betrachtest du die Abbildung $$l\colon H\to \operatorname{Sym}(H)$$ die zu jedem $h\in H$ eine Linksmultiplikation definiert, das heißt jedes $h\in H$ induziert eine Abbildung $g\xrightarrow{l(h)} hg$ für jedes $g\in H$. Ist jetzt $h'$ ein weiteres Element aus $H$, dann induziert $h'$ die Abbildung $g\xrightarrow{l(h')} h'g$ für jedes $g\in H$.

Du musst zeigen, dass für jedes $h\in H$ die inudzierte Abbildung $l(h)$ eine bijektive Abbildung ist. 

Sei $h\in H$ und sei $l(h)$ die induzierte Abbildung. Da $H$ eine Gruppe ist, existiert ein inverses $h^{-1}\in H$, so dass $hh^{-1} = 1 = h^{-1}h$.

Da zu jedem Gruppenelement eine induzierte Abbildung existiert, induziert auch $h^{-1}$ eine Abbildung gemäß $$l(h^{-1})\colon g\mapsto h^{-1}g.$$

Nun ist $l(h^{-1})$ die Umkehrabbildung zu $l(h)$, denn: $$l(h)\circ l(h^{-1})\colon g\mapsto h^{-1}g\mapsto h(h^{-1}g) = h^{-1}g\mapsto h(h^{-1})g = g$$
Und umgekehrt genauso. Da $h$ (und somit auch $h^{-1}$) beliebig gewählt war, ist jede induzierte Abbildung eine Bijektion.

Die anderen Aufgabenteile überlass ich dir.

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