Untervektorräume von R^3

Aufrufe: 204     Aktiv: 28.04.2022 um 21:38

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Hallo,

wie beschreibt man alle Untervektorräume vom R Vektorraum R^3 geometrisch?

Also ich verstehe nicht was man hier machen soll: Ein Untervektorraum muss ja nicht leer sein und bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen sein. Aber wie beschreib ich hier etwas geometrisch?
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Wichtig wäre es erstmal die Unterräume zu klassifizieren,  hier bietet sich die Dimension an (welche Fälle haben wir dann?), dann kannst du dir für jeden Fall ein Beispiel ausdenken und überlegen, was es geometrisch ist, danach kannst du das versuchen für alle Unterräume der selben Dimension zu verallgemeinern. Kommst du jetzt weiter?
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Student, Punkte: 8.72K

 

Also es gibt ja R, RxR und RxRxR. R wäre eine Gerade, R^3 eine Ebene und R^2 eine Parabel. Is das so gemeint?   ─   nutzer123 28.04.2022 um 17:05

Da fehlt noch der Nullvektorraum, aber ansonsten lässt sich jeder Untervektorraum von \(\mathbb{R}^3\) mit den Räumen \(0,\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3 \) identifizieren. Du hast recht, die Unterräume zu \(\mathbb{R}\), lass uns sagen die Unterräume von Dimension 1, sind Geraden. Sie haben aber noch eine wichtige Eigenschaft, damit sie ein UVR sind (was ist mit Nullvektor?). Die Unterräume zu \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\), lass uns sagen Unterräume der Dimension 2 und 3, sind aber leider falsch. Versuche dir Beispiele auszudenken, es ist nicht schwer   ─   mathejean 28.04.2022 um 17:15

Die Untervektorräume müssen abgeschlossen sein bei der Addition und Multiplikation und nicht leer? Der Nullvektor is ja der Ursprung oder. Bei R^2 und R^3 hat man ja zusätzliche Koordinaten. Also bei R^2 z.B. gibt es immer eine Richtung und eine Länge, is das so gemeint?   ─   nutzer123 28.04.2022 um 17:44

Ganz genau, die Unterräume von Dimension 1 sind alles Ursprungsgeraden. Welche Beispiel kennst du den für einen 2 Dimensionalen Raum?   ─   mathejean 28.04.2022 um 17:54

Ich weiss nicht genau wie das gemeint ist? Man hat ja zwei Werte z.B. (2,3).   ─   nutzer123 28.04.2022 um 18:16

Weißt du, was der Spann von Vektoren ist, dann kann ich gutes Beispiel machen.   ─   mathejean 28.04.2022 um 18:19

Leider nicht, zumindest nicht unter dem Begriff   ─   nutzer123 28.04.2022 um 18:30

Okay, schau dir mal den Unterraum \(U=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_2=x_3\}\). Welche Dimension hat \(U\)?   ─   mathejean 28.04.2022 um 18:57

3 Dimensional?   ─   nutzer123 28.04.2022 um 19:16

Nein, du hast einfach nur die Anzahl der Komponente gezählt, es ist \(U\) 2-dimensional.   ─   mathejean 28.04.2022 um 19:25

Da es effektiv nur zwei Variablen gibt? Oder weil die voneinander Abhängig sind   ─   nutzer123 28.04.2022 um 19:32

Ja, weil sie abhängig sind, sehr gut! Kannst du dir Vorstellen, was \(U\) ist (Punkt, Gerade, Ebene, Raum, Hyperebene)?   ─   mathejean 28.04.2022 um 19:41

Müsste das dann ein Punkt sein?   ─   nutzer123 28.04.2022 um 19:49

Wäre es ein Punkt, so könnte es nur der Ursprung sein (Nullvektor muss immer drinnen sein), es besteht aber \(U\) nicht nur aus dem Ursprung.   ─   mathejean 28.04.2022 um 19:52

Wäre es ein Raum? Weil es ja dann alle möglichen Belegungen für x1,x2 sind   ─   nutzer123 28.04.2022 um 19:57

Für einen Raum braucht man aber alle möglichen Belegungen von x_1,x_2,x_3, jetzt hast du es aber fast!   ─   mathejean 28.04.2022 um 20:03

Sind es dann Geraden? Also nicht nur Geraden sondern allgemeine Geraden?   ─   nutzer123 28.04.2022 um 20:06

Nein, jetzt aber nur noch eine Möglichkeit   ─   mathejean 28.04.2022 um 20:13

Eine Ebene? Aber warum   ─   nutzer123 28.04.2022 um 20:21

Ja eine Ebene (die durch den Ursprung geht), vielleicht schaust du dir das ja mal bei Geogebra oder so an, eine formelle Argumentation hilft da nicht   ─   mathejean 28.04.2022 um 21:32

Noch nie eine Ebene in Koordinatenform gesehen (Schulmathematik)?   ─   cauchy 28.04.2022 um 21:38

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