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Das liegt daran, dass die Funktion die Queerschnittsfläche man sagt auch "krummlinig" begrenzt und nicht geradlinig wie man es bei Zylinder oder Kegel der Fall ist. Was du beschreibst wäre mit der Grundfläche mal der Intervalllänge ein Zylinder als Rotationsvolumen, wobei es sich dann um eine Konstante Funktion handelt und auch nur in dem Fall auf das gleiche Ergebnis kommt.

Ich rate davon ab sich hier etwas zusammenzudichten was du im allgemeinen nicht anwenden kannst. Benutze bitte die Formel die du kennst! Du musst ja nicht jede Formel wissen, solange du weißt wo es steht! Lerne mit dem Tafelwerk zu arbeiten, denn das ist eure Bibel im Matheabi. Sicherlich musst du für den hilfsmittelfreien Teil einige elementare Formeln kennen. Das Rotationsvolumen ist aber definitiv wenn überhaupt im Hilfsmittelteil zu benutzen und da darfst du wie gesagt das Tafelwerk verwenden.

Ich wünsche viel Erfolg für die anstehende Abiturprüfung💪

Kleiner Tipp: Wenn man sich Formeln nicht merken will, sollte man einfach versuchen, sie zu verstehen. 

Falls du dich an die "Streifenmethode" bei der Integralrechnung erinnerst (falls das besprochen wurde), stelle dir einfach vor, du machst das bei dem Rotationskörper ebenso. Dann bekommst du ganz viele (unendlich dünne) Zylinder. Die sind dann quasi so dünn, dass man sie als Kreis auffassen kann. Da wir nun wissen, dass die Fläche eines Kreises $A=\pi\cdot r^2$ ist und wir den Radius des Rotationskörper immer an einer gegebenen Stelle $x$ als $f(x)$ identifizieren können, erhalten wir für das Volumen die Summe dieser unendlich dünnen Zylinder und können das schreiben als das Volumen $V=\int_a^b\!\pi f(x)^2\,\mathrm{d}x=\pi \int_a^b\! f(x)^2\,\mathrm{d}x$. Das $\pi$ kann man dann aus dem Integral ziehen, weil es nicht von $x$ abhängt. Vielleicht hilft dir diese Vorstellung weiter, sich die Formel zu "merken". 

Viel Erfolg bei der Prüfung.