Eine notwendige Bedingung ist eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit (z.B.) eine Extremstelle vorliegt. Daraus folgt aber nicht, dass wirklich eine Extremstelle vorliegt. Zum Beispiel bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), aber \(x=0\) ist keine Extremstelle.
Eine hinreichende Bedingung ist genau das Gegenteil: Jede Extremstelle erfüllt diese Bedingung, aber es gibt auch Extrempunkte, die die Bedingung nicht erfüllen. Zum Beispiel hat \(f(x)=x^4\) eine Extremstelle bei \(x=0\), obwohl \(f''(x)=0\).
Eine hinreichende und notwendige Bedingung wäre dann eine Bedingung, die genau die (d.h. alle und sonst keine) Extremstellen erfüllen.

Deine zweite Frage verstehe ich nicht. Das bekannte hinreichende Kriterium für Extremstellen ist:
Sei \(f\) zweimal differenzierbar, \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\neq 0\) für ein \(x_0\) im Definitionsbereich von \(f\). Dann hat \(f\) ein Extremum in \(x_0\).
Die erste Ableitung muss hier immer 0 sein.