Ideale eines Matrizenrings (so richtig?)

Aufrufe: 72     Aktiv: 07.02.2021 um 16:20

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Hallo, 

es geht um folgende Aufgabe: 



Ich habe ein bisschen recherchiert und folgende Sätze gefunden: 
- Die Mengen {0} und R sind stets Ideale eines Ringes R. 
- Wenn {0} und R seine einzigen zweiseitigen Ideale sind, nennt man R einfach. 

Also habe ich gezeigt, dass R ein (nichtkommutativer) Ring ist. (Ist das richtig?)
Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass {0} und R die einzigen Ideale sind, aber wie?

Zum Schiefkörper: R ist kein Schiefkörper, da (R,*) nicht assoziativ ist, richtig? 

Danke für jede Hilfe
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Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, ansonsten könnte \(R\) auch kein Ring sein
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Student, Punkte: 1.47K
 

Ja   ─   mathejean 06.02.2021 um 16:32

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Hallo anonymouss,

wäre R tatsächlich ein Schiefkörper, müsste z.B. auch die Matrix \(\begin{pmatrix}1& 0\\0&0\end{pmatrix}\) invertierbar sein. Ist sie das?

Sei nun I ein Ideal von R. Wir müssen zeigen, dass I=(0) oder I=R.
Falls I keine Matrix außer der 0-Matrix enthält, gilt I=(0) und wir sind fertig.
Ansonsten existiert eine Matrix \(A\in I\) mit \(A\not=0\), insbesondere 0<Rang(A)<=2.
Falls Rang(A)=2 ist A invertierbar und damit I=R (warum?).

Interessant ist nun der Fall Rang(A)=1.
Bekanntlich (?) existieren dann (invertierbare) Matrizen \(S,T\in R\), so dass \(SAT=\begin{pmatrix}1& 0\\0&0\end{pmatrix}=:B\).
Also auch \(B\in I\).
Damit auch \(C:=\begin{pmatrix}0& 0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1 \\1&0\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}0& 1\\1&0\end{pmatrix}\in I\).
Damit liegt auch B+C (also die Einheitsmatrix) in I und es folgt I=R.

Grundlegende Strategie war also, sich zu überlegen, was mit einer von 0 verschiedenen Matrix in I für weitere Matrizen in I liegen müssen. Vielleicht geht das auch geschickter als ich es getan habe.

Viele Grüße
Tobias
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