Komplexe QR Zerlegung

Aufrufe: 132     Aktiv: 27.04.2022 um 21:19

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Ich soll die QR Zerlegung an einer komplexen Matrix durchführen, verstehe aber nicht wie ich da vorgehen sollte.
Die Matrix lautet:

       -i   0   2i   0
A = 0   1   -2  -1
       0   0   4    2
       i    0   0    i

Aber da die Spalten lin. abhängig sind komme ich mit dem Orthonormalisierungs verfahren von Gauss nicht weiter.

Vielen Dank schon im Voraus:)

EDIT vom 27.04.2022 um 09:05:




(das ist noch ein reelles Beispiel)
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Student, Punkte: 76

 

Was ist denn das "Orthonormalisierungs verfahren von Gauss"? Mir sagt das erstmal nichts. Es gibt (mind.) drei Methoden: Gram-Schmidt, Householder-Trafos, Givens-Rotationen. Welche dieser drei kennst Du?   ─   mikn 26.04.2022 um 20:30

Ah ich habe das Gram-schmidt verfahren gemeint wo man orthonormalisieren muss.
Ich kenn eigentlich nur das Gram-schmidt Verfahren

  ─   par-fait 26.04.2022 um 20:34

Das ist schon eine kompliziertere Sache. Erstmal gehe ich davon aus, dass in A kein Tippfehler ist, d.h. A hat wirklich Rang 3. Dann brauchen wir nun die exakte Def. von QR-Zerlegung aus Deiner Lehrveranstaltung, komplett mit allen Angaben. Ebenso das Original der Aufgabenstellung. Am besten von beiden Fotos posten.   ─   mikn 27.04.2022 um 00:37
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Ok, folgendes Vorgehen (probier aus, ich hab's nur mit einem einfachen Beispiel getestet):

$A$ hat Rang 3, die ersten drei Spalten sind linear unabhängig (nicht allgemein natürlich, aber ist hier so). Die vierte Spalte sei $a_4$.
1. Wähle nun einen Vektor $u$, der linear unabhängig von den ersten drei Spalten von $A$ ist (irgendeinen, egal).
2. Tausche nun $a_4$ in $A$ gegen $u$ und nenne die neue Matrix $B$. Dann hat $B$ Rang 4.
3. Berechne nun problemlos die QR-Zerlegung von $B$, also $B=Q\cdot R_b$. Das $Q$ ist schon das richtige, wir müssen nun noch $R_b$ umbauen.
4. Setze in $R_b$ die letzte Zeile auf eine Nullzeile. Das hat zur Folge, dass es beim Produkt $Q\cdot R_b$ egal wird was bei $Q$ in der 4. Spalte steht (die ist ja eine Folge unseres Schritts 1.).
5. Ersetze in $R_b$ die vierte Spalte durch $Q^Ha_4$ und nenne diese $R$.
Dann ist $A=Q\cdot R$.
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Danke vielmals für deine Hilfe:)   ─   par-fait 27.04.2022 um 20:51

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Gerne. Hab etwas gebraucht, diese Lösung zu erarbeiten, aber selbst was bei gelernt.   ─   mikn 27.04.2022 um 21:19

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