Ok, folgendes Vorgehen (probier aus, ich hab's nur mit einem einfachen Beispiel getestet):

$A$ hat Rang 3, die ersten drei Spalten sind linear unabhängig (nicht allgemein natürlich, aber ist hier so). Die vierte Spalte sei $a_4$.
1. Wähle nun einen Vektor $u$, der linear unabhängig von den ersten drei Spalten von $A$ ist (irgendeinen, egal).
2. Tausche nun $a_4$ in $A$ gegen $u$ und nenne die neue Matrix $B$. Dann hat $B$ Rang 4.
3. Berechne nun problemlos die QR-Zerlegung von $B$, also $B=Q\cdot R_b$. Das $Q$ ist schon das richtige, wir müssen nun noch $R_b$ umbauen.
4. Setze in $R_b$ die letzte Zeile auf eine Nullzeile. Das hat zur Folge, dass es beim Produkt $Q\cdot R_b$ egal wird was bei $Q$ in der 4. Spalte steht (die ist ja eine Folge unseres Schritts 1.).
5. Ersetze in $R_b$ die vierte Spalte durch $Q^Ha_4$ und nenne diese $R$.
Dann ist $A=Q\cdot R$.