Hallo,
das ist wirklich eine lange Aufgabe und ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht, außerdem habe ich nicht die größte Erfahrung im Thema Finanzmathematik, aber hier meine Betrachtung.
Zuerst wenn \( v \) der prozentualle Wert ist, der reinvestiert wird, dann gilt für den reinvestierten Betrag \( R(t) \cdot v \), mit \( v \in [\frac 1 2 , 1] \). Somit gilt für den auszuzahlenden Betrag \( R(t) \cdot (1-v) \). Die 0,5 sind überflüssig, da du sonst nur die Hälfte der Rendite betrachtest.
Nun zu dem Punkt, ab dem der vor einem Jahr investierte Teil verfällt.
Du hast dafür die Gleichung
\( K(t) = K(t-1) + R_i(t-1) - K(t-12) \)
aufgestellt. Allerdings ist das Kapital nur im aller ersten Monat der investierte Betrag. Danach nicht mehr. Da würde vielleicht besser sowas wie \(\ldots - (K(t-13)-K(t-12)) \) hinpassen, um die Differenz der beiden Kapitalbeträge zu haben. Denn genau das ist doch das reinvestierte oder?
Nun weiß ich nicht ob eine direkte Formel dafür schon existiert. Ich glaube ich würde schauen, für welche v die rekursive Folge monoton wachsend ist und für welches v sie monoton fallend ist (natürlich erst ab t=13).
Dann weißt du immerhin, ob das Kapital steigt oder ob es sinkt.
Was meinst du erstmal dazu?
Grüße Christian
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würde ich K(t-1) durch den Vorgänger ausdrücken, käme dann auch K(t-14) ins Spiel, etc. ...
Ich glaube, das beste ist wohl, ich betrachte es einfach mal t=13, also das erste Zahl, in dem ein Verfallsterm dazukommt.
wenn dieser Ausdruck, abhängig von K(1)=K=Startkapital und v, geteilt durch K(1) entsprechend >=1 ist, wäre das Ziel erreicht.
Denn die grundsätzliche Berechnungsformel ändert sich über die Jahre ja nicht.
wir haben auch nicht das problem dass sich renditen von vor mehr als 12 monaten einschleichen, die irgendwo mitverzinst werden. es gibt in dem sinne keine vergangenheit, die sich positiv oder negativ auswirken könnte.
kann halt nur sein dass neben einem gewissen v auch ein gewisses Startkapital vorhanden sein muss damit sich das ganze weiterhin trägt.
müsste man wohl ausrechnen.
vor allem aber wäre die berechnung einfacher weil K(t) mit 1<=t<=12 keinen verfallsterm drinhat, der uns behindert könnte.
demnach könnte ich doch eigentlöich ganz billig sagen:
K(1)=K gegeben.
K(2)=K(1)+RI(1)=K(1)+K(1)*Monatszinssatz(effektiver)*v
=K(1)*(1+monatszins*v)
demnach wäre K(13)=K(1)*(1+monatszins*v)^12-K(1)
=K(1)*((1+monatszins*v)^12-1)
das durch K(1) wäre
((1+monatszins*v)^12-1)
dies soll >=1 sein, also
((1+monatszins*v)^12-1)>=1
(1+monatszins*v)^12>=2
(1+monatszins*v)>=wurzel12(2) ist ca. 1.595
ergo monatszins*v >=0.595
also grob größer 6%.
Stimmt das soweit?
bin mir nur unsicher ob die situaion nun vergleichbar ist mit der bei den monaten t>13.
einerseits hat man zwar nicht den verfallsterm (okay, der war hier einmalig mit dabei)
aber auch nicht die wieder verzinsten renditen aus den vormonaten.
ob sich die 2 effekte wohl aufheben.?
ich sehe mich gerade nicht in der lage, das zu beantworten :-(
─ densch 27.04.2019 um 15:44
Die Gleichung stimmt soweit. Allerdings musst du für die monotone Steigung zeigen, das \( \frac {K(t+1)} {K(t)} \) gilt. Mit \( \frac {K(13)} {K(1)} \) bestimmst du nur ob es bis zu diesem Monat gestiegen ist.
Aber ab dem 13ten Monat kann man ja wieder so eine Überlegung machen für das was abgezogen wird. Wenn wir
\( K(t) = K(t-1) + R_i(t-1)- (K(t-13)-K(t-12)) \\ = K(t-1) + R_i(t-1) +K(t-12)-K(t-13) \\ = K_0(1+zv)^t+K_0(1+zv)^{t-12} - K_0(1+zv)^{t-13} \\ = K_0 ((1+zv)^t+(1+zv)^{t-12} -(1+zv)^{t-13} ) \)
Mit dieser Gleichung müsstest du nun die monotonie überprüfen können. ─ christian_strack 29.04.2019 um 22:18
erst einmal Danke für die Antwort.
Ja, so im Groben hatte ich das auch gedacht.
Beim Reinvestfaktor hatte ich halt, da der eben mindestens 50% betragen muss, eher so gedacht: 50% sind muss und über den Anteil der restlichen 50%, der investiert werden soll, kann frei entschieden werden.
also 50% werden "zwangsinvestiert" und nochmal v*50% freiwillig investiert (wobei v eben 0-100%)
aber für Rechenzwecke ist deine Variante wesentlich einfacher und praktischer, im prinzip ist es zum Lösen meiner Probleme auch egal.
Nehmen wir deine Variante, die ist einfacher zu rechnen :-)
das mit dem verfallenden Anteil stimmt.
ich muss mal überlegen:
sagen wir im Monat 1
starten wir mit K und erhalten hier die Rendite R (gemeint soll hier immer nur der reinvestierte Teil sein, RI vo noben sozusagen).
in monat 1 passiert nix, da wird R erst erwirtschaftet.
monat 2 wird R zum ersten mal investiert,
in monat 3 zum 2. mal
...
in monat 13 zum 12. mal
nun ist R "verbraucht" und praktisch tot.
in monat 14 und folgende wird R nicht mehr berücksichtigt.
d.h. beim kapital zu beginn von Monat 14 muss R abgezogen werden.
R ist, korrekt gesprochen R(1), d.h. die im ersten Monat erwirtschaftete Rendite.
d.h. bei der berechnung von K(14) wird R(1) abgezogen.
d.h. analog wird bei berechnung von K(t) R(t-13) abgezogen.
Recht hast du mit K(t-12)-K(t-13), praktisch gesprochen ist das ja gerade die Rendite aus dem Vormonat (monat t-13).
könnte man also in der Formel auch einfach R(t-13) abziehen, was sich natürlich wieder abhängig von K(t-13) darstellen lässt.
Ich denke, Endziel wird es letztlich sein, K(t) in Abhängigkeit von K(t-13) und v darzustellen.
und damit K(t)/K(t-13) zu bestimmen.
ist das größer 1, ist das Kapital gewachsen.
ist es gleich 1, haben wir wenigstens den status quo bewahrt.
kleiner 1 wäre schlecht, denn dann wäre das monoton fallend und ginge irgendwann ganz auf 0 runter.
nur die frage wie wir nun K(t) durch K(t-13) ausdrücken ohne induktives einsetzen... ─ densch 27.04.2019 um 12:24