Sei K ein endlicher Körper mit $char(K)=p$. Ich möchte zeigen, dass die Menge $K_0=\lbrace s \cdot 1 | s=0, \dots, p-1\rbrace \subseteq K$ zusammen mit der Addition und Multiplikation von K selbst wieder ein Körper ist.

Was ich für den Beweis schon getan habe: Ich habe gezeigt, dass $K_0$ ein kommutativer Ring ist und möchte nun zeigen, dass jedes $0 \neq a \cdot 1 \in K_0$ ein multiplikativ Inverses besitzt.
Da $a<p$ gilt $ggT(a,p)=1$. Nach dem erweiterten eukl. Alg. gilt weilter: $ggT(a,p)=ab+pc$ für $b,c \in \mathbb{Z}$
Weiterhin gilt: $1=ab+pc \iff ab=1-pc$

Meine Beweisidee:

$(a1)(b1)=(ab)1=(1-pc)1=1*1-p*c*1 = 1*1 \quad \text{(mod p)}$

Jetzt ist es so, dass ich die Variable $b$ quasi doppelt verwende. Einmal für den eukl. Alg. als Linearkombination und einmal in meinem Beweis. Darf ich das so überhaupt machen?