Körperaxiom prüfen

Aufrufe: 197     Aktiv: 22.04.2023 um 11:42

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Sei K ein endlicher Körper mit $char(K)=p$. Ich möchte zeigen, dass die Menge $K_0=\lbrace s \cdot 1 | s=0, \dots, p-1\rbrace \subseteq K$ zusammen mit der Addition und Multiplikation von K selbst wieder ein Körper ist.

Was ich für den Beweis schon getan habe: Ich habe gezeigt, dass $K_0$ ein kommutativer Ring ist und möchte nun zeigen, dass jedes $0 \neq a \cdot 1 \in K_0$ ein multiplikativ Inverses besitzt.
Da $a<p$ gilt $ggT(a,p)=1$. Nach dem erweiterten eukl. Alg. gilt weilter: $ggT(a,p)=ab+pc$ für $b,c \in \mathbb{Z}$
Weiterhin gilt: $1=ab+pc \iff ab=1-pc$

Meine Beweisidee:

$(a1)(b1)=(ab)1=(1-pc)1=1*1-p*c*1 = 1*1 \quad \text{(mod p)}$

Jetzt ist es so, dass ich die Variable $b$ quasi doppelt verwende. Einmal für den eukl. Alg. als Linearkombination und einmal in meinem Beweis. Darf ich das so überhaupt machen?

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Moin,

ja, dass kann man so machen. Es reicht allerdings schon die obige Überlegung mit $ab=1-pc$ und $p=0$ aus, um die Existenz des Inversen zu zeigen.

LG
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Vielen Dank für deine Antwort. Kleine Nachfrage zum wzeiten Teil: $p$ ist nach Voraussetzung eine Primzahl, wäre da $p=0$ nicht etwas unvorteilhaft?   ─   debiant3x 22.04.2023 um 10:32

Du hast es in deiner Frage nicht explizit genannt, aber ich bin davon ausgegangen, dass $K_0=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ist, andernfalls macht die Definition keinen Sinn. Nun prüft man auf die Ringaxiome (hattest du bereits getan). Da $K_0$ ein Restklassenring ist, ist $0=(p)$, d.h. auch $p=0$.   ─   fix 22.04.2023 um 11:42

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