Diskrete Wahrscheinlichkeit Münzwurf

Aufrufe: 81     Aktiv: 22.03.2021 um 13:09

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Eine faire Münze wird solange geworfen bis zum ersten Mal der Ausgang nicht dem letzten Ausgang entspricht, also Kopf auf Zahl folgt oder umgekehrt. Modellieren sie in Form eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω,P), modellieren sie die Anzahl der Würfe als Zufallsvariable.

Ich habe keine Ahnung wie ich sowas aufschreibe bzw. hat jemand Tips wie man am besten vorgeht bei solchen Modellierungsaufgaben?
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1 Antwort
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Ein "diskreter" Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer Menge Ω möglicher Ergebnisse und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P, die man sich so vorstellen kann, dass sie einfach jedem Elementarereignis \( \{ \omega \} \) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

(Das ist später anders bei nicht-diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf \( \mathbb R \) beispielsweise kann man nicht mehr dadurch angeben, dass man einfach jeder denkbaren reellen Zahl (Ergebnis) ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit zuordnet. Da muss man die Wahrscheinlichkeiten dann wirklich für Ereignisse (Mengen von Ergebnissen) definieren, und es gibt Komplikationen, weil man das oftmals nicht für _beliebige_ Mengen von Ergebnissen machen kann usw. - dann braucht es die ganzen Begriffsbildungen über Messbarkeit, Sigma-Algebren usw. Insofern sind diskrete Wahrscheinlichkeitsräume der "einfache" Fall.)

Du könntest also einfach jeden möglichen Verlauf deines Experiments in einer geeigneten Weise kodieren und jedem Verlauf eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Eine sinnvolle Beschreibung einer Folge von Münzwürfen kann zum Beispiel die Form (z,k,z,k,z,k,k,k,k) haben (in _diesem_ Experiment kommt diese Folge nicht vor, weil man schon nach dem zweiten Wurf aufgehört hätte), oder (z,k,k,k) oder noch anders.

- Kannst Du die Menge aller dieser endlichen z-k-Folgen beliebiger Länge "mathematisch" notieren?
- Kannst Du aus dieser "großen" Menge aller möglichen Verläufe diejenigen auswählen (und das formulieren), die tatsächlich bei diesem speziellen Zufallsexperiment herauskommen können?
- Findest Du eine im Modell (faire Münze usw.) sinnvolle Vorschrift, einem solchen Verlauf eine Einzelwahrscheinlichkeit zuzuordnen?

Dann müsstest Du nur noch beweisen, dass die Summe aller dieser Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

(Außerdem müsste man evtl. noch bedenken, dass es sogar vorkommen _könnte_, dass das Experiment niemals beendet wird, weil die Münze einfach immer auf die gleiche Seite fällt. Dann reichen endliche Folgen vielleicht nicht mehr aus... Die Modellbildung funktioniert allerdings, soweit ich sehe, auch ohne Berücksichtigung dieses Falles.)

Das, was ich jetzt beschrieben habe, betrifft durchweg nur das "Vorgehen", also die Überlegung. "Wie man das aufschreibt" ist noch einmal eine andere Frage, aber vielleicht findest Du ja jetzt einen Anfang?
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Mathematiker auf Abwegen, Punkte: 30
 

Weißt Du, wie man z.B. die Menge, die aus (z,k), (z,z), (k,z), (k,k) besteht, mathematisch geschickt aufschreiben kann?
Weißt Du, wie man die Menge, die aus (z,z,z), (z,z,k), (z,k,z), (z,k,k), ... (alle möglichen Ergebnisse bei dreimaligem Münzwurf) mathematisch geschickt aufschreiben kann?
  ─   lfm 21.03.2021 um 01:13

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