Graphische Beispiele zu Komplexen Zahlen (Mengen, Real- & Imaginärteil, Argument)

Aufrufe: 604     Aktiv: 21.12.2020 um 19:49
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Hallo,

ich habe einige Probleme beim Verständnis der Eigenschaften komplexer Zahlen.
Konkret geht es folgende 3 (kurze) Beispiele {Lösung bekannt, Anm.} die mit der graphischen Darstellung komplexer Zahlen zu tun haben:
{Titel der Übungsbeispielsammlung lautet "Gauß'sche Zahlenebene", Anm.}

Bei diesen bitte ich euch um Korrektur meiner bisherigen Erkenntnisse (sofern diese falsch sind) und auch um Hilfe bei den Dingen, die ich noch nicht verstehe.
{Um nicht zu spammen wollte ich diese Beispiele zu einer größeren Frage zusammenfassen, da sie ja allesamt fachlich ähnlich sind. Ich hoffe, das ist okay. Anm.}

1)

Aus \(0 \le arg z \le \pi/4 \) schließe ich, dass "graphisch gesprochen" die Begrenzung im ersten Quadranten des Koordinatensystems liegt.
\( Im z \ge 2Re z - 8 \) bereitet mir allerdings Probleme. Ich habe eigentlich nur wegen "-8" die zweite Möglichkeit gewählt, da die Achse hier nur bis 8 eingezeichnet ist. Außerdem kann ich eigentlich gar keine Aussage zu den Formen der Plots treffen, besonders der vierte verwirrt mich.

2)

Da die Zahl unimodular sowie diese rote Markierung {ich nehme an die eingezeichnete Zahl, Anm.} auf der Realteil-Achse eingezeichnet ist, ist mir die Bestimmung von Real- & Imaginärteil klar, allerdings irritiert mich der blau eingezeichnete Vollkreis und 0 als richtige Lösung für das Argument; wieso ist diese nicht 2\( \pi \)? Meine Vermutung wäre hier das offene Intervall in der Angabe, somit sind 2\( \pi \) ja eigentlich gar nicht möglich, trotzdem bin ich mir unsicher.

3)


Zu diesem Beispiel kann ich selbst leider gar nichts anfügen. Ich habe diese Lösung aufgrund des Intervalls [-3, 3] gewählt, aber ansonsten habe ich das nur geraten.

 

Ich habe leider weder in der Vorlesung noch dem zugehörigen Skript und auch nicht im Internet eine Lösung oder das Handwerkszeug, um eine zu erarbeiten, gefunden.
Vielen Dank an jeden, der sich mit dieser Frage befasst!

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Zu (1): Richtig! Die Bedinung mit \(arg\) beschränkt die Menge nach oben \(45^{\circ}\) und nach unten \(0^{\circ}\). Die erste Bedingung sorgt für die schräge Begrenzung rechts. Nimm Beispielwerte:

Ist \(\mathfrak{Re} (z)=2\), gehören alle komplexen Zahlen \(z\) mit \(\mathfrak{Im} (z)\geq 2\cdot 2 -8=-4\) dazu. Die Menge wird aber nach unten begrenz durch \(arg\geq 0\). Sonst würde sich die Menge in den 4ten Quadranten erstrecken. Nach oben ist es auch wieder durch \(arg\leq \frac{\pi}{4}\) begrenzt.

Ist \(\mathfrak{Re} (z)=4\), gehören alle komplexen Zahlen \(z\) mit \(\mathfrak{Im} (z)\geq 2\cdot 4 -8=0\) dazu. Die Menge wird aber nach oben begrenzt.

Ist nun aber z.B. \(\mathfrak{Re} (z)=5\) oder größer, gehören alle komplexen Zahlen \(z\) mit \(\mathfrak{Im} (z)\geq 2\cdot 5 -8=2\) dazu. D.h., erst ab \(\mathfrak{Im} (2)\) und alle komplexen Zahlen mit größerem imaginäranteil gehören zur Menge.

Bei \(\mathfrak{Re} (z)=6\) dann für alle komplexen Zahlen \(z\) mit \(\mathfrak{Im} (z)\geq 2\cdot 6 -8=4\) usw.

Ich hoffe das ist so deutlich geworden.

zu (2): Das Argument ist in der Aufgabenstellung eingeschränkt, dass \(arg=2\pi\) nicht akzeptiert werden dürfte, da es nicht im entsprechenden Intervall liegt. \((-\pi,\pi]\) ist deswegen halboffen gewählt, so man sonst für die Zahl \(z=-1\) sowohl \(\pi\) als auch \(-\pi\) eingeben könnte.

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Zu (3): Ist echt schon spät, deswegen keine Gewähr auf meine Antwort :D. Also eigentlich reicht dir ja eine einzige komplexe Zahl aus der Grafik als Begründung für deine Antwort, \(z=3i\). In dem Fall ist sowohl \(|z|=\)als auch \(\mathfrak{Im}(z)=3\) und ergibt in der Summe \(6\). Bei den anderen Grafiken würde dieses \(z\) zwar in der Menge liegen, aber nicht auf den Linien der Grafiken zu finden sein. Warum der jetzt so aussiehst wie eine Parabel, kann ich dir leider nicht Genacht erklären. Ich nehme an die Gleichung umstellen und ein bisschen damit spielen führt zu irgendeinem Erfolg:
\(|z|+\mathfrak{Im}(z)=6 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{\mathfrak{Re}(z)^2+\mathfrak{Im}(z)^2}=6-\mathfrak{\Im} (z)\)
.... aber keine Ahnung, ob man da im Folgenden auf die Struktur einer quadratischen Funktion gelangt.
Man kann höchstens die Grenzen noch testen. Also \(z_1=-3+2,25i\) und \(z_2=3+2,25i\) ergeben beide:
\(|z|+\mathfrak{Im}(z)=\sqrt{(-3)^2+2,25^2} +2,25=\sqrt{9+5,0625}+2,25=\sqrt{14,0625}+2,25 =3,75+2,25=6\)
Deswegen können auch keine imaginären Werte kleiner als 2,25 eingesetzt werden, da auch der Wurzelterm von \(|z|\) kleiner als 3,75 wird und man somit in der Summe nicht mehr auf \(6\) kommt. Das Bild ist etwas irreführend mit der Achsenbeschriftung. Das würde für mich jetzt erst einmal ausreichen als Begründung :D   ─   maqu 21.12.2020 um 01:11
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@cauchy danke für die Rechnung, da war ich doch schon auf dem richtigen Weg :D .... @arcturus0815 du musst nach \(\mathfrak{Im} (z)\) umstellen, weil dies ja quasi dein \(y\) ist (oder halt das \(b\) in der Rechnung von cauchy) das sollte nun tatsächlich die eine ausreichende Begründung sein ;)   ─   maqu 21.12.2020 um 07:55
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Vielen vielen Dank @maqu und @cauchy !
Alles sehr gut erklärt, ich habe verstanden :)   ─   arcturus0815 21.12.2020 um 18:08

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