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Ich lerne gerade Thermodynamik und stoße immer wieder auf dieses Problem: In einem mehrdimensionalen Raum wird eine größe als totales Differential ausgedrückt. Diese Größe wiederum wird durch eine differentielle andere Größe geteilt. Kann ich dann Brüche differentieller Ausdrücke gleich partiellen Ableitungen behandeln? In der mir zur Verfügung gestellten Literatur ist das nähmlich so.
Hier ein kleines Gedankenbeispiel:
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\(\frac{dx}{dx}=1\)   ─   gerdware 21.02.2021 um 15:46

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1 Antwort
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Hallo,
 
zuerst einmal, muss man etwas vorsichtig sein, mit dem Begriff Bruch beim Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \). Die Schreibweise sugeriert zwar einen Bruch und in manchen Fällen darf man ihn auch so behandeln, aber im allgemeinen ist es kein Bruch, sondern nur eine Notation für den Differentialquotienten. 
 
Wenn wir nun eine Funktion mit mehreren Veränderlichen haben und diese ableiten, dann schreiben wir \( \frac {\partial f(x,y,\ldots)} {\partial x} \). Also wieder, es ist eher eine Notation. 
Wenn wir keine Bruch Notation haben, sondern einfach \( \mathrm{d}f \). dann reden wir vom Differential (es beschreibt quasi einen unendlich kleinen Abschnitt). 
 
Nun zu deiner Frage, Prinzipiell kannst du das Zeichen \( \mathrm{d} \) durch \( \partial \) ersetzen, wenn es im Kontext mehr Sinn macht. Denn beide beschreiben eigentlich das gleiche. 
 
Wenn du jetzt aber von \( \mathrm{d}f \) zu \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \) wechselst, dann betrachtest du wie sich der unendlich kleine Abschnitt \( \mathrm{d}f \) in Bezug auf unendlich kleine Änderungen von \(x \) (also \( \mathrm{d}x \)) ändert. 
Es ist hier dann aber an sich richtig, dass du die beiden Differentiale \( \mathrm{d}x \) und \( \mathrm{d}y \) ebenfalls in die Bruchnotation bringst
 
$$ \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} = \frac {\partial f} {\partial x} \frac {\mathrm{d}x} {\mathrm{d}x} + \frac {\partial f } {\partial y} \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} $$
 
Nun ist wie gerdware bereits richtig sagt, \( \frac {\mathrm{d}x} {\mathrm{d}x} =1 \). Da wir mit \( x\) und \( y \) die Koordinatenachsen meinen, kann in unserem Fall aber eine kleine Änderung von \(x \) niemals \( y \) beeinflussen. Mach dir das vielleicht einmal an einem Bild klar. Egal wie sehr du dich entlang der \( x \)-Achse bewegst, die \(y \)-Koordinate ändert sich nie. Also gilt zusätzlich \( \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = 0 \). Damit wird der obige Ausdruck zu
 
$$ \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} = \frac {\partial f } {\partial x} $$
 
Also zusammengefasst. Ja es ist an sich das gleiche. Wir haben hier aber 2 unterschiedliche Notationen genutzt, deshalb haben wir am Ende auch die Gleichheit dieser Notationen. Es ist nicht sonderlich schön, aber es sollte denke ich eigentlich kein Problem darstellen.
 
Grüße Christian
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Totales Differential und partielle Ableitung sind eben nicht das gleiche. Das totale Differential ist die Summe der partiellen Ableitungen und liefert daher die vollständige Information über die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen. Anschaulich betrachtet ist dies für zwei Variablen dann die Tangentialebene in einem Punkt. Die partiellen Ableitungen liefern nur diejenige Information der Ableitung, die die entsprechende Achse betreffen und man erhält geometrisch betrachtet nur eine Tangente.   ─   cauchy 22.02.2021 um 16:05

Ich meinte auch, dass \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \) und \( \frac {\partial f} {\partial x} \) im Grunde das selbe beschreiben. Es geht hier eher um die Notation, ob man sich im eindimensionalen und im mehrdimensionalen bewegt. Oder verstehe ich da etwas falsch?
So wie ich es verstanden habe, war das auch die Frage.
  ─   christian_strack 22.02.2021 um 16:42

Achso. Dann kam es bei mir vielleicht etwas missverständlich an. Es liest sich aber irgendwie auch so, als wäre beides das gleiche, nicht nur auf die Notation bezogen. Ich kenne es aber auch eher so - gerade in der Physik - dass man \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\) hat, also wenn zum Beispiel die Ortskoordinaten \(x, y, z\) zusätzlich von der Zeit \(t\) abhängen.   ─   cauchy 22.02.2021 um 16:51

Dann ist ja gut, dass der Kommentar von dir hier drunter ist. Nicht dass das beim Fragesteller auch falsch ankommt. :)
Denn es ist ganz wichtig, dass eine Ableitung und das totale Differential etwas unterschiedliches beschreiben!
Einen physikalischen Bezug habe ich leider nicht. Danke für die Ergänzung.
  ─   christian_strack 22.02.2021 um 16:54

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