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Hallo,
zuerst einmal, muss man etwas vorsichtig sein, mit dem Begriff Bruch beim Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \). Die Schreibweise sugeriert zwar einen Bruch und in manchen Fällen darf man ihn auch so behandeln, aber im allgemeinen ist es kein Bruch, sondern nur eine Notation für den Differentialquotienten.
Wenn wir nun eine Funktion mit mehreren Veränderlichen haben und diese ableiten, dann schreiben wir \( \frac {\partial f(x,y,\ldots)} {\partial x} \). Also wieder, es ist eher eine Notation.
Wenn wir keine Bruch Notation haben, sondern einfach \( \mathrm{d}f \). dann reden wir vom Differential (es beschreibt quasi einen unendlich kleinen Abschnitt).
Nun zu deiner Frage, Prinzipiell kannst du das Zeichen \( \mathrm{d} \) durch \( \partial \) ersetzen, wenn es im Kontext mehr Sinn macht. Denn beide beschreiben eigentlich das gleiche.
Wenn du jetzt aber von \( \mathrm{d}f \) zu \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \) wechselst, dann betrachtest du wie sich der unendlich kleine Abschnitt \( \mathrm{d}f \) in Bezug auf unendlich kleine Änderungen von \(x \) (also \( \mathrm{d}x \)) ändert.
Es ist hier dann aber an sich richtig, dass du die beiden Differentiale \( \mathrm{d}x \) und \( \mathrm{d}y \) ebenfalls in die Bruchnotation bringst
$$ \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} = \frac {\partial f} {\partial x} \frac {\mathrm{d}x} {\mathrm{d}x} + \frac {\partial f } {\partial y} \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} $$
Nun ist wie gerdware bereits richtig sagt, \( \frac {\mathrm{d}x} {\mathrm{d}x} =1 \). Da wir mit \( x\) und \( y \) die Koordinatenachsen meinen, kann in unserem Fall aber eine kleine Änderung von \(x \) niemals \( y \) beeinflussen. Mach dir das vielleicht einmal an einem Bild klar. Egal wie sehr du dich entlang der \( x \)-Achse bewegst, die \(y \)-Koordinate ändert sich nie. Also gilt zusätzlich \( \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} = 0 \). Damit wird der obige Ausdruck zu
$$ \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} = \frac {\partial f } {\partial x} $$
Also zusammengefasst. Ja es ist an sich das gleiche. Wir haben hier aber 2 unterschiedliche Notationen genutzt, deshalb haben wir am Ende auch die Gleichheit dieser Notationen. Es ist nicht sonderlich schön, aber es sollte denke ich eigentlich kein Problem darstellen.
Grüße Christian
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christian_strack
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Ich meinte auch, dass \( \frac {\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x} \) und \( \frac {\partial f} {\partial x} \) im Grunde das selbe beschreiben. Es geht hier eher um die Notation, ob man sich im eindimensionalen und im mehrdimensionalen bewegt. Oder verstehe ich da etwas falsch?
So wie ich es verstanden habe, war das auch die Frage. ─ christian_strack 22.02.2021 um 16:42
So wie ich es verstanden habe, war das auch die Frage. ─ christian_strack 22.02.2021 um 16:42
Dann ist ja gut, dass der Kommentar von dir hier drunter ist. Nicht dass das beim Fragesteller auch falsch ankommt. :)
Denn es ist ganz wichtig, dass eine Ableitung und das totale Differential etwas unterschiedliches beschreiben!
Einen physikalischen Bezug habe ich leider nicht. Danke für die Ergänzung. ─ christian_strack 22.02.2021 um 16:54
Denn es ist ganz wichtig, dass eine Ableitung und das totale Differential etwas unterschiedliches beschreiben!
Einen physikalischen Bezug habe ich leider nicht. Danke für die Ergänzung. ─ christian_strack 22.02.2021 um 16:54