Wenn du die Elemente aus zwei Mengen hintereinander nach aufschreiben würdest, hättest du die Elemente die in beiden Mengen drin sind zweimal dabei. Wenn du jedoch die Schnittmenge subtrahierst, hast du die Elemente jeweils nur einmal.

Wenn A:={1,2,3} und B:={2,3,4} dann sollte (AvB):={1,2,3,4} sein.

Aber (A+B):={1,2,2,3,3,4} also musst du die Schnittmenge mit {2,3} einmal abziehen.

Hoffe war hilfreich

Die informelle Erklärung (die man sich vielleicht auch merken kann) ist die Folgende:

Bei \( P(A \cup B) \) werden die Elemente aus \( A \cap B \) genau einmal berücksichtigt, denn sie kommen in \( A \cup B \) genau einmal vor. Bei \( P(A)+P(B) \) werden die Elemente aus \( A \cap B \) aber zweimal berücksichtigt, da sie sowohl in \( A \) als auch in \( B \) einmal vorkommen. Deshalb muss man einmal \( P(A \cap B) \) abziehen.

Die mathematische Begründung ist:

Man darf genau dann \( P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) \) schreiben, wenn \( X \) und \( Y \) disjunkt sind. Das folgt unmittelbar aus der Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Also müssen wir \( A \cup B \) zunächst in disjunkte Mengen zerlegen. Beispielsweise so

\( A \cup B = (A \setminus (A \cap B)) \cup (B \setminus (A \cap B)) \cup (A \cap B) \)

Weil wir nun disjunkte Mengen haben können wir also schreiben

\( (*) \ \ \ \) \( P(A \cup B) = P(A \setminus (A \cap B)) + P(B \setminus (A \cap B)) + P(A \cap B) \)

Was ist nun \( P(A \setminus (A \cap B)) \) und \( P(B \setminus (A \cap B)) \)?

Nun, wir können \( A \) disjunkt zerlegen durch \( A = (A \setminus (A \cap B)) \cup (A \cap B) \). Wir erhalten also

\( P(A) = P(A \setminus (A \cap B)) + P(A \cap B) \)

oder anders hingeschrieben

\( P(A \setminus (A \cap B)) = P(A) - P(A \cap B) \)

Völlig analog erhalten wir

\( P(B \setminus (A \cap B)) = P(B) - P(A \cap B) \)

Setzen wir diese beiden Resultate in die Gleichung \( (*) \) ein, so erhalten wir die gewünschte Aussage

\( P(A \cup B) \) \( = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B) + P(A \cap B) \) \( = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)