Ich muss ein paar Worte vorausschicken. Während meines Studiums der elektrischen Nachrichtentechnik an der FH (paar Tage her) wurde das Lösen von DGLs nicht behandelt. Wir haben das in der E-Technik und Regelungstechnik mittels Laplace Transformation erledigt. Jetzt bin ich dran das nachzuarbeiten. Als Basis dient mir das Buch „Analysis für Ingenieure“ von W.Leopold, R. Conrad, S. Völkel, G. Große, Prof. R. Fucke, H. Nickel, H. Mende von damals. Nicht grad das neueste Exemplar von Lehrbuch, aber die Mathematik der DGLs ist ja auch schon ein paar Tage alt.

Es geht um die Lösung von \(y'' + y = x^2\) Die Lösung ist \(y=C\sin(x+C_2) +x^2-2\)

Nun die Krux an der Sache. Zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung sind nur folgende Kapitel über DGLs bekannt:
DGL 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.
Durch Substitution lösbare DGL 1. Ordnung.
Auf DGL 1. Ordnung zurückführbare DGL 2. Ordnung.
Und um genau die geht es ja. Außerdem wurde für inhomogene DGL bis dahin nur der Lagrange Ansatz „Variation der Konstanten“ behandelt. Genau da stecke ich fest. Ich weiß nicht wie ich das machen muss.

Zunächst die homogene Lösung:

\( y'' + y = 0 \Rightarrow y'' = -y\) Jetzt kann man beide Seiten mit \(2y'\) multiplizieren. Das gibt dann \(2y'y'' = -2y'y\). Die linke Seite kann man dann (Vorgabe Lehrbuch) als \(\frac{d(y'^2)}{dx}\) und die rechte Seite als \(-2\frac{dy}{dx}y\) schreiben. Gibt also \(\frac{d(y'^2)}{dx}=-2\frac{dy}{dx}y\)
Jetzt dx kürzen und beide Seiten integrieren.
\(\int d(y'^2) = \int -2ydy \Rightarrow y'^2 = -y^2 +C\) Aus \(C\) noch schnell \(C^2\) machen und die Wurzel ziehen. Dann haben wir eine DGL 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.
\(y' = \pm \sqrt{C^2 - y^2}\). Mal nur das positive VZ betrachtet und Variablen getrennt: \(\frac{dy}{\sqrt{C^2-y^2}}= 1dx\). Beide Seiten integriert gibt \(\arcsin(\frac{y}{C}) = x + C_2\). Mit sin(x) multipliziert gibt \(\frac{y}{C} = \sin(x+C_2)\). Homogene Lösung ist: \(y_h=C\sin(x+C_2)\). Sollte hoffentlich passen.

Jetzt kommt die Variation der Konstanten: \(y_p = C(x)\sin(x+C_2); y'_p = C'(x)\sin(x+C_2)+C(x)\cos(x+C_2); y''= C''(x)\sin(x+C_2)+2C'(x)\cos(x+C_2)-C(x)\sin(x+C_2)\) Einsetzen in die DGL gibt \(C''(x)\sin(x+C_2)+2C'(x)\cos(x+C_2)=x^2\). Hier stecke ich fest. Wie geht's weiter oder welcher andere Ansatz ist zu wählen.

Bitte beachten! Charakteristisches Polynom und der Lösungsansatz \(s(x)=B_m(x)e^{\alpha x}\) ist zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung NICHT bekannt. Mit diesem Ansatz habe ich die Lösung natürlich gefunden. Ich möchte aber auch den anderen Ansatz verstehen.

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?