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Ich muss ein paar Worte vorausschicken. Während meines Studiums der elektrischen Nachrichtentechnik an der FH (paar Tage her) wurde das Lösen von DGLs nicht behandelt. Wir haben das in der E-Technik und Regelungstechnik mittels Laplace Transformation erledigt. Jetzt bin ich dran das nachzuarbeiten. Als Basis dient mir das Buch „Analysis für Ingenieure“ von W.Leopold, R. Conrad, S. Völkel, G. Große, Prof. R. Fucke, H. Nickel, H. Mende von damals. Nicht grad das neueste Exemplar von Lehrbuch, aber die Mathematik der DGLs ist ja auch schon ein paar Tage alt.

Es geht um die Lösung von \(y'' + y = x^2\) Die Lösung ist \(y=C\sin(x+C_2) +x^2-2\)

Nun die Krux an der Sache. Zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung sind nur folgende Kapitel über DGLs bekannt:
DGL 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.
Durch Substitution lösbare DGL 1. Ordnung.
Auf DGL 1. Ordnung zurückführbare DGL 2. Ordnung.
Und um genau die geht es ja. Außerdem wurde für inhomogene DGL bis dahin nur der Lagrange Ansatz „Variation der Konstanten“ behandelt. Genau da stecke ich fest. Ich weiß nicht wie ich das machen muss.

Zunächst die homogene Lösung:

\( y'' + y = 0 \Rightarrow y'' = -y\) Jetzt kann man beide Seiten mit \(2y'\) multiplizieren. Das gibt dann \(2y'y'' = -2y'y\). Die linke Seite kann man dann (Vorgabe Lehrbuch) als \(\frac{d(y'^2)}{dx}\) und die rechte Seite als \(-2\frac{dy}{dx}y\) schreiben. Gibt also \(\frac{d(y'^2)}{dx}=-2\frac{dy}{dx}y\)
Jetzt dx kürzen und beide Seiten integrieren.
\(\int d(y'^2) = \int -2ydy \Rightarrow y'^2 = -y^2 +C\) Aus \(C\) noch schnell \(C^2\) machen und die Wurzel ziehen. Dann haben wir eine DGL 1. Ordnung mit trennbaren Variablen.
\(y' = \pm \sqrt{C^2 - y^2}\). Mal nur das positive VZ betrachtet und Variablen getrennt: \(\frac{dy}{\sqrt{C^2-y^2}}= 1dx\). Beide Seiten integriert gibt \(\arcsin(\frac{y}{C}) = x + C_2\). Mit sin(x) multipliziert gibt \(\frac{y}{C} = \sin(x+C_2)\). Homogene Lösung ist: \(y_h=C\sin(x+C_2)\). Sollte hoffentlich passen.

Jetzt kommt die Variation der Konstanten: \(y_p = C(x)\sin(x+C_2); y'_p = C'(x)\sin(x+C_2)+C(x)\cos(x+C_2); y''= C''(x)\sin(x+C_2)+2C'(x)\cos(x+C_2)-C(x)\sin(x+C_2)\) Einsetzen in die DGL gibt \(C''(x)\sin(x+C_2)+2C'(x)\cos(x+C_2)=x^2\). Hier stecke ich fest. Wie geht's weiter oder welcher andere Ansatz ist zu wählen.

Bitte beachten! Charakteristisches Polynom und der Lösungsansatz \(s(x)=B_m(x)e^{\alpha x}\) ist zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung NICHT bekannt. Mit diesem Ansatz habe ich die Lösung natürlich gefunden. Ich möchte aber auch den anderen Ansatz verstehen.

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 298

 

Hallo Mathegenies, habt ihr mir wirklich keinen Tipp, oder ist die Lösung so einfach, dass man die Frage gar nicht stellen müsste? Gruß jobe.   ─   jobe 11.03.2022 um 15:03
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Mir ist nicht so ganz klar, warum ein so komplizierter Lösungsweg sein muß, aber gut, versuchen wir es:
Zuerst einmal würde ich die Lösung der homogenen Gleichung lieber als \(C_1 sin x +C_2 cos x \) schreiben. Dann Variation der Konstanten als \(y_p = C_1(x) sin x + C_2(x) cos x\) ansetzen. In der
1. Ableitung verlangst Du nun zuerst einmal, das die Summe der Terme die die Ableitungen von C_i enthalten verschwinden. Die zwete Forderung ist dann, das y_p die inhomogene DGL löst. Das gibt zusammen zwei Gleichungen für die 1. Ableitungen der C_i. das Gleichungssystem löst man und integriert dann, um die C_i zu erhalten. Du müßtes finden: \(C_1=(x^2-2) sin x +2x cos x +A\) und \(c_2 = (x^2-2) -2x sin x +B\). Da die zwei Konstanten A undf B schon berücksichtigt sind, ergibt das Einsetzen in y_p bereits die allgemeine Lösung.
Natürlich wäre der Ansatz \(y_p = Ax^2 +Bx +C\) viel einfacher, aber es geht, wie Du siehst,  auch mittels Variation der Konstanten.
Übrigens kannst Du das alles ausführlicher nachlesen, wenn Du in meiner Lernplaylist "Unterhaltsame Mathematik" den dort angegebenen Links folgst. gerade zu Differenzialgleichungen in der Physik findest Du vieles dort.
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Lehrer/Professor, Punkte: 5.88K

 

Hallo professors, leider benötige ich noch weitere Hilfe. Ich krieg das von Dir beschriebene Gleichungssystem nicht hin. 1. Forderung: die Summe der Terme die die Ableitungen von \(C_i\) enthalten verschwinden. Ansatz: \(C‘_1(x)sin(x)+C_1(x)cos(x)+C‘_2(x)cos(x)-C_2(x)sin(x)= (C‘_1(x)sin(x)+ C‘_2(x)cos(x)\) Wahrscheinlich schon völlig falsch. 2. Forderung: \(y_p\) löst die inhomogene DGL. \(C_1(x)sin(x)+C_2(x)cos(x) = x^2\). Mit den beiden Gleichungen bekomme ich irgendwie nichts Gescheites raus.

Und kann es sein, dass Du bei C2 ein cos(x) vergessen hast? Nur, wenn ich \( C_2=(x^2−2)cos(x)−2xsin(x)+B\) ansetze bekomme ich das vorgegebene Ergebnis für die DGL. Außerdem wird dann Deine 1. Forderung nach \( C‘_1(x)sin(x )+ C‘_2(x)cos(x) = 0\) erfüllt.
Bitte noch eine kleine Hilfestellung. Gruß jobe

P.S. Deine Videos werde ich noch schauen. Ich bin da aber eher oldschool. Üben macht mehr Sinn als gucken.
  ─   jobe 13.03.2022 um 16:23

Richtig! Ich habe den Kosinus vergessen. Übrigens, die erste Forderung dient zur Vereinfachung der Rechnung. Da wir ja zwei C's haben, kann man ja eine "Zusatzforderung" stellen. Wenn "old school", dann einmal in mein Buch "Mathematik Klausurtrainer" schauen. Auf Seite 131 wird dort die DGL \(y''-y=cosh^{-1}\) mit der von mir beschriebenen Methode gelöst. Und Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es zu dem Thema viele.   ─   professorrs 13.03.2022 um 20:35

Hallo Professors, Buch gekauft, Lösung angeschaut, nachgerechnet und endlich kapiert. Eine Frage bleibt für mich noch offen die Du mir hoffentlich beantwortest. Ist die Forderung \(C‘_1(x)f_1(x)+C‘_2(x)f_2(x)=0\) allgemein anwendbar oder geht das nur, weil in der DGL kein \(y'\) vorkommt? Gruß jobe   ─   jobe 20.03.2022 um 16:58

Bei einer DGl 2. Ordnung wird die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch zwei linear unabhängige Basisfunktionen aufgespannt. In unserem Beispiel sind das die Sinus- und die Kosinusfunktion. Man kann daher zwei Konstanten variieren, um eine Lösung der einhomogenen Gleichung zu finden. Daher bleibt uns die Möglichkeit, eine Zusatzforderung zu stellen. Unsere im Beispiel gestellte Forderung bezieht sich auf das Verhalten von y' und hat nicht unmittelbar mit der Struktur der DGL zu tun. Versuch doch einmal eine Aufgabe, die auch y' enthält; aber bedenke, dass dann die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung sich ebenfalls ändert. Interessant wäre für Dich, die Lösungstheorie linearer Differenzialgleichung (kurz in meinem Buch enthalten) genauer zu studieren.
Übrigens, ich hoffe, Dir nützt mein Buch noch auch für andere Probleme. Solltest Du dazu Fragen haben, immer gerne nachfragen.
  ─   professorrs 25.03.2022 um 17:57

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