Hallo zusammen,

für einen Vortrag über die Geschichte der Mathematik habe ich mich etwas genauer mit dem griechischen Mathematiker Antiphon auseinandergesetzt, der versuchte, die Kreiszahl $\pi$ über die Ausschöpfung eines Kreises herzuleiten.

Als grobe Beschreibung: Er nahm sich ein Quadrat und verdoppelte itterativ die Kantenzahlen, sodass er den Kreis auszufüllen glaubte (siehe Bilder). Weil den Griechen damals das Konzept der Unendlichkeit noch nicht so geläufig war, scheiterte dieser Ansatz im wesentlichen daran, dass Antiphon nur endlich viele dieser Itterationen hätte durchführen können.

Jetzt würde ich gerne mit moderner Analysis zeigen, dass man den Grenzwert einer allgemeinen Flächenformel für jedes reguläres n-Eck berechnen kann, woraus $\pi$ abzuleiten sein sollte. Online habe ich einige Formeln zur Flächenberechnung eines n-Ecks gefunden, allerdings haben diese trigonometrische Funktionen beinhaltet (https://tituspintus.de/Texte/Flaeche_regelmaessiges_n-eck.html https://www.mathmaster.de/formeln-vieleck.html ...). Da ich nun aber einen Grenzwert bestimmen möchte, sind die trigonometrischen Funktionen allerdings problematisch.

Als nächstes habe ich versucht, die damaligen Konstruktionsschritte abzuarbeiten, also eine rekursive Flächenberechnung anzustreben. Für eine gegebene Kantenlänge des Quadrats a und daraus ergebenden Radius $r=\frac{\sqrt(2) \cdot a}{2}$ gilt dann:

$A_4=a^2$

$A_8=a^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot (r-\frac{a}{2})$

$A_{16}=a^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot (r-\frac{a}{2}) + ...$

Ab dem 16 Eck wird es auch schon mit der Verallgemeinerbarkeit schwierig, weil ich dann ja auch noch die Kantenlängen der vorhergehenden Dreiecke benötige für die ich mal den Sinus und mal den Cosinus brauche.

Meine Frage an die Runde: Ist jemanden eine Reihe bekannt, welche dieses itterative Vorgehen darstellt? Kennt jemand einen Ansatz der Exhaustionsmethode für den ein Grenzwert bestimmt werden kann?

Liebe Grüße